Exercício Resolvido de Campo Elétrico
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Determine o torque que atua sobre um dipolo elétrico imerso num campo elétrico uniforme. Determine também a energia potência deste dipolo.


Esquema do problema:

O dipolo é formado por cargas de mesmo valor e sinais contrários, +q e −q, colocadas em um campo elétrico uniforme E. Na carga positiva atua uma força elétrica FE no mesmo sentido do campo elétrico e na carga negativa atua uma força elétrica mesma intensidade e sentido oposto ao campo elétrico (Figura 1).
Escolhemos como referência a carga negativa, o vetor posição r aponta em direção a carga positiva, onde p é o momento de dipolo elétrico do sistema, e θ é o ângulo entre o segmento que liga as cargas do dipolo e o campo elétrico.

Figura 1

Solução

Sob a ação do par de forças elétricas este sistema gira sob a ação de um torque dado por
\[ \bbox[#99CCFF,10px] {\mathbf{N}=\mathbf{r}\times{\mathbf{F}}} \]
a única força que atua no sistema é a força elétrica FE
\[ \begin{gather} \mathbf{N}=\mathbf{r}\times{\mathbf{F}}_{E} \tag{I} \end{gather} \]
A força elétrica é dada por
\[ \begin{gather} \bbox[#99CCFF,10px] {{\mathbf{F}}_{E}=q\mathbf{E}} \tag{II} \end{gather} \]
substituindo a expressão (II) na expressão (I)
\[ \begin{gather} \mathbf{N}=\mathbf{r}\times q\mathbf{E}\\ \mathbf{N}=q\mathbf{r}\times{\mathbf{E}} \tag{III} \end{gather} \]
O momento de dipolo é dado por
\[ \begin{gather} \bbox[#99CCFF,10px] {\mathbf{p}=q\mathbf{r}} \tag{IV} \end{gather} \]
substituindo a expressão (IV) na expressão (III)
\[ \mathbf{N}=\mathbf{p}\times{\mathbf{E}} \]

Usando a definição do Produto Vetorial
\[ \mathbf{c}=\mathbf{a}\times{\mathbf{b}} \]
\[ |\;c\;|=|\;a\;||\;b\;|\operatorname{sen}\theta \]

O torque será
\[ \bbox[#FFCCCC,10px] {N=pE\operatorname{sen}\theta} \]
O trabalho de uma força é dado por
\[ \bbox[#99CCFF,10px] {W=\int F\;dr} \]
substituindo a força pelo torque, F = N, e o deslocamento pelo deslocamento angular. dr = dθ
\[ \begin{gather} W=\int N \;d\theta \\[5pt] W=\int pE\operatorname{sen}\theta \;d\theta \\[5pt] W=pE\int_{\theta _{0}}^{\theta}\operatorname{sen}\theta \;d\theta \\[5pt] W=pE\left.\left(-\cos \theta\right)\right|_{\;\theta_{0}}^{\;\theta}\\[5pt] W=-pE\left(\cos \theta-\cos \theta _{0}\right) \end{gather} \]
O trabalho é armazenado na forma de energia potencial do sistema
\[ \begin{gather} W=\Delta U\\ \Delta U=-pE(\cos \theta -\cos \theta_{0}) \end{gather} \]
escolhendo para situação inicial   \( \theta_{0}=\frac{\pi}{2}\Rightarrow \cos \theta_{0}=0 \)
\[ \bbox[#FFCCCC,10px] {U=-pE\cos \theta} \]

Usando a definição do Produto Escalar
\[ c=|\;a\;||\;b\;|\cos \theta \]
\[ c=\mathbf{a}\cdot {\mathbf{b}} \]

podemos escrever
\[ \bbox[#FFCCCC,10px] {U=-{\mathbf{p}}\cdot {\mathbf{E}}} \]
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