Exercício Resolvido de Termodinâmica
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Um motor Diesel aciona uma bomba hidráulica capaz de elevar 300 litros de água por minuto a uma altura de 30 m. O rendimento do motor é de 36% e da bomba de 80%. Se este sistema funcionar por 5 horas, calcular:
a) A energia total absorvida pelo sistema;
b) A potência do motor e da bomba em cavalos-vapor (1 cv = 735,5 W).

Dados do problema:

  • Vazão da bomba: V = 300 ℓ/min;
  • Altura de elevação da água: h = 30 m;
  • Rendimento do motor Diesel: \( \eta_m=36\text{%}=\frac{36}{100}=0,36 \);
  • Rendimento da bomba hidráulica: \( \eta_b=80\text{%}=\frac{80}{100}=0,80 \);
  • Tempo de funcionamento: Δt = 5 h.

Esquema do problema:

Do calor inicialmente produzido Q1 pelo motor Diesel, uma parte se perde Q2 na forma de calor e barulho, o restante é o trabalho W1 produzido pelo motor. O trabalho transferido do motor é a energia recebida pela bomba Q3, desta, uma parte é perdia Q4 e outra parte é o trabalho W2 realizado pela bomba para elevar a água (Figura 1).

Figura 1

Solução:

Em primeiro lugar devemos converter a vazão dada em litros por minuto (ℓ/min) para quilogramas por segundo (kg/s) e o intervalo de tempo de funcionamento da bomba dado em horas (h) para segundos (s).

\[ \begin{gather} V=300\times\;\frac{\cancel{\ell}}{\mathrm{\cancel{min}}}\times\frac{1\;\mathrm{kg}}{1\;\cancel{\ell}}\times\frac{1\;\mathrm{\cancel{min}}}{60\;\mathrm s}=5\;\frac{\mathrm{kg}}{\mathrm s} \\[10pt] \Delta t=5\;\mathrm{\cancel h}\times\frac{3600\;\mathrm s}{1\;\mathrm{\cancel h}}=18000\;\mathrm s \end{gather} \]

a) O rendimento de uma máquina térmica é dado por

\[ \begin{gather} \bbox[#99CCFF,10px] {\eta=\frac{W}{Q}} \tag{I} \end{gather} \]

onde W é o trabalho realizado pela máquina e Q é a energia proveniente da fonte quente.
Aplicando a equação (I) o trabalho realizado pelo motor Diesel será

\[ \begin{gather} \eta_m=\frac{W_1}{Q_1} \\[5pt] W_1=\eta_mQ_1 \tag{II} \end{gather} \]

Aplicando a equação (I) o trabalho realizado pela bomba será

\[ \begin{gather} \eta_b=\frac{W_2}{Q_3} \\[5pt] W_2=\eta_bQ_3 \tag{III} \end{gather} \]

O trabalho realizado pelo motor Diesel é a energia que faz a bomba funcionar (a energia que sai do motor é igual à energia que entra na bomba), então temos a condição

\[ \begin{gather} W_1=Q_3 \tag{IV} \end{gather} \]

substituindo a condição (IV) na equação (III)

\[ \begin{gather} W_2=\eta_bW_1 \tag{V} \end{gather} \]

substituindo a equação (II) na equação (V)

\[ \begin{gather} W_2=\eta_b\eta_mQ_1 \tag{VI} \end{gather} \]
Adota-se um Nível de Referência (N.R.) na parte mais baixa de onde a água entra na bomba, então o trabalho realizado pela bomba será igual à Energia Potencial (EP) que a massa total de água vai ganhar ao ser levada até a altura de 30 m.
\[ \begin{gather} W_2=E_p \tag{VII} \end{gather} \]
A massa de água elevada durante o tempo de funcionamento da bomba será
\[ \begin{gather} m=V\Delta t \tag{VIII} \end{gather} \]
Figura 2

A Energia Potencial é dada por

\[ \begin{gather} \bbox[#99CCFF,10px] {E_p=mgh} \tag{IX} \end{gather} \]

substituindo a equação (VIII) na equação (IX)

\[ \begin{gather} E_p=V\Delta tgh \tag{X} \end{gather} \]

substituindo as equações (VI) e (X) na condição (VII)

\[ \begin{gather} \eta_b\eta_mQ_1=V\Delta tgh \\[5pt] Q_1=\frac{V\Delta tgh}{\eta_b\eta_m} \end{gather} \]

substituindo os valores do problema e adotando para a aceleração da gravidade o valor de 10 m/s2

\[ \begin{gather} Q_1=\frac{5\times 18000\times 10\times 30}{0,80\times 0,36} \\[5pt] Q_1=\frac{27000000}{0,288} \end{gather} \]
\[ \begin{gather} \bbox[#FFCCCC,10px] {Q_1=95750000\;\mathrm J} \end{gather} \]

b) A potência é dada por

\[ \begin{gather} \bbox[#99CCFF,10px] {P=\frac{\Delta E}{\Delta t}} \tag{XI} \end{gather} \]

Para o motor Diesel a energia será o trabalho (\( \Delta E=W_1 \)) realizado para mover a bomba, usando a equação (II) na equação (XI)

\[ \begin{gather} P=\frac{W_1}{\Delta t} \\[5pt] P=\frac{\eta_mQ_1}{\Delta t} \end{gather} \]

substituindo os dados do problema e o valor de Q1 obtido no item (a)

\[ \begin{gather} P=\frac{0\times 36\times 95750000}{18000} \\[5pt] P=\frac{34470000}{18000} \\[5pt] P=1915\;\mathrm W \end{gather} \]

Usando a equivalência cavalo-vapor e watts dada no problema e fazendo uma regra de três

\[ \begin{gather} \frac{1\;\mathrm{cv}}{735,5\;\mathrm W}=\frac{P_m}{1915\;\mathrm W} \\[5pt] P_m=\frac{1915\;\mathrm{\cancel W}\times 1\;\mathrm{cv}}{735,5\;\mathrm{\cancel W}} \end{gather} \]
\[ \begin{gather} \bbox[#FFCCCC,10px] {P_m=2,6\;\mathrm{cv}} \end{gather} \]

Para a bomba hidráulica a energia será o trabalho \( \Delta E=W_2 \) realizado para elevar a água e este trabalho é igual à Energia Potencial \( W_2=E_{\mathrm{P}} \), usando a equação (X) em (XI)

\[ \begin{gather} P=\frac{W_2}{\Delta t} \\[5pt] P=\frac{E_p}{\Delta t} \\[5pt] P=\frac{V\Delta tgh}{\Delta t} \\[5pt] P=Vgh \end{gather} \]

substituindo os dados do problema

\[ \begin{gather} P=5\times 10\times 30 \\[5pt] P=1500\;\mathrm W \end{gather} \]

Usando a equivalência cavalo-vapor e watts dada no problema e fazendo uma “regra de três”

\[ \begin{gather} \frac{1\;\mathrm{cv}}{735,5\;\mathrm W}=\frac{P_b}{1500\;\mathrm W} \\[5pt] P_b=\frac{1500\;\mathrm{\cancel W}\times 1\;\mathrm{cv}}{735,5\;\mathrm{\cancel W}} \end{gather} \]
\[ \begin{gather} \bbox[#FFCCCC,10px] {P_b=2\;\mathrm{cv}} \end{gather} \]
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