Um gás perfeito ocupa inicialmente um volume V1, sob pressão p1 e a
temperatura
T1. Submete-se esse gás a uma expansão adiabática no fim da qual o gás ocupa um volume
V2 nove vezes maior que o volume inicial, sob pressão p2 e a
temperatura T2. Dada a relação entre a Capacidade Térmica a Pressão Constante e
Capacidade Térmica a Volume Constante
\( \left(\frac{C_p}{C_{\small V}} \right) \)
igual a 1,5, calcular as relações
\( \frac{p_1}{p_2} \)
e
\( \frac{T_1}{T_2} \).
Dados do problema:
| Estado inicial |
Estado final |
| Volume: V1 |
Volume: V2 = 9V1 |
| Pressão: p1 |
Pressão: p2 |
| Temperatura: T1 |
Temperatura: T2 |
-
Relação entre a Capacidade Térmica a Pressão Constante e
Capacidade Térmica a Volume Constante: \( \frac{C_p}{C_{\small V}}=1,5 \).
Solução:
Em uma transformação adiabática (quando não há trocas de calor com o meio externo) vale a relação
\[
\begin{gather}
\bbox[#99CCFF,10px]
{pV^{\gamma}=\text{constante}} \tag{I}
\end{gather}
\]
onde o expoente γ é dado pela relação
\( \frac{C_p}{C_{\small V}} \).
Aplicando a equação (I) para as situações inicial e final
\[
\begin{gather}
p_1V_1^{\gamma}=p_2V_2^{\gamma} \\[5pt]
p_1V_1^{\frac{C_p}{C_{\small V}}}=p_2V_2^{\frac{C_p}{C_{\small V}}}
\end{gather}
\]
substituindo os valores dados no problema
\[
\begin{gather}
p_1V_1^{1,5}=p_2(9V_1)^{1,5}
\end{gather}
\]
escrevendo
\( 1,5=\frac{3}{2} \)
\[
\begin{gather}
p_1V_1^{\frac{3}{2}}=p_2(9V_1)^{\frac{3}{2}} \\[5pt]
\frac{p_1}{p_2}=\frac{(9V_1)^{\frac{3}{2}}}{V_1^{\frac{3}{2}}}
\end{gather}
\]
Aplicando a propriedade de exponenciação
\( \dfrac{a^m}{b^m}=\left(\dfrac{a}{b}\right)^m \)
ao lado direito da igualdade
\[
\begin{gather}
\frac{p_1}{p_2}=\left(\frac{9\cancel{V_1}}{\cancel{V_1}}\right)^{\frac{3}{2}} \\[5pt]
\frac{p_1}{p_2}=9^{\frac{3}{2}}
\end{gather}
\]
Observação:
Representação de
\( 9^{\frac{3}{2}} \):
1.º método: Aplicando a propriedade de exponenciação
\( a^{\frac{m}{n}}=\sqrt[{n\,}]{a^{m}} \)
\[
\begin{gather}
\sqrt{9^3\,}=\sqrt{729\,}=27
\end{gather}
\]
2.º método: escrevendo
\( 9=3^2 \)
\[
\begin{gather}
9^{\frac{3}{2}}=\left(3^2\right)^{\frac{3}{2}}
\end{gather}
\]
aplicando a propriedade de exponenciação
\( \left(a^{m} \right)^{n}=a^{m.n} \)
ao lado direito da igualdade
\[
\begin{gather}
9^{\frac{3}{2}}=3^{\cancel 2.\frac{3}{\cancel 2}} \\[5pt]
9^{\frac{3}{2}}=3^{3} \\[5pt]
9^{\frac{3}{2}}=27
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
\bbox[#FFCCCC,10px]
{\frac{p_1}{p_2}=27}
\end{gather}
\]
Escrevendo a Equação Geral dos Gases para as situações inicial e final
\[
\begin{gather}
\bbox[#99CCFF,10px]
{\frac{p_1V_1}{T_1}=\frac{p_2V_2}{T_2}}
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
\frac{p_1V_1}{p_2V_2}=\frac{T_1}{T_2}
\end{gather}
\]
substituindo o valor de V2 dado no problema e o valor de
\( \frac{p_1}{p_2} \)
encontrado acima
\[
\begin{gather}
\frac{T_1}{T_2}=27\frac{\cancel{V_1}}{9\cancel{V_1}}
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
\bbox[#FFCCCC,10px]
{\frac{T_1}{T_2}=3}
\end{gather}
\]