Um cilindro possui um êmbolo móvel, no seu interior está encerrado 1 g de hidrogênio. O cilindro é aquecido
sob pressão constante de 0° C a 100° C. Calcular o trabalho da dilatação para mover o êmbolo. Dados a massa
molecular do hidrogênio igual a 2 g/mol e a Constante Universal dos Gases Perfeitos
R = 8,32 J/mol.K.
Dados do problema:
- Massa de H2: m = 1 g;
- Massa molar do H2: M = 2 g/mol;
- Temperatura inicial: ti = 0° C;
- Temperatura final: tf = 100° C;
- Constante Universal dos Gases Perfeitos: R = 8,32 J/mol.K.
Esquema do problema:
O gás possui um volume inicial Vi na temperatura inicial ti = 0° C,
quando aquecido até a temperatura final tf = 100° C seu volume aumenta até o volume
final Vf. A transformação é feita à pressão constante, transformação isobárica,
e como não há mudança na massa do gás o número de mols do gás também permanece constante.
Solução:
Em primeiro lugar devemos converter a temperatura do gás dada em graus Celsius para kelvins
\[
\begin{gather}
T_i=t_{c i}+273=0+273=273\;\mathrm K \\[10pt]
T_f=t_{c f}+273=100+273=373\;\mathrm K
\end{gather}
\]
O trabalho realizado pelo gás para mover o êmbolo sob pressão constante é dado por
\[
\begin{gather}
\bbox[#99CCFF,10px]
{W=p\,(\,V_f-V_i\,)} \tag{I}
\end{gather}
\]
Usando a Equação de Clapeyron
\[
\begin{gather}
\bbox[#99CCFF,10px]
{pV=nRT}
\end{gather}
\]
onde n é o número de mols do gás. Escrevendo esta equação para as situações inicial e final do gás
\[
\begin{gather}
pV_i=nRT_i
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
pV_f=nRT_f
\end{gather}
\]
subtraindo a equação inicial da equação final
\[
\begin{gather}
\frac{
\begin{matrix}
pV_f=nRT_f \\[5pt]
pV_i=nRT_i
\end{matrix}}
{pV_f-pV_i=nRT_f-nRT_i}
\end{gather}
\]
colocando a pressão p em evidência do lado esquerdo da igualdade, e o fator nR do lado direito
\[
\begin{gather}
p \left(V_f-V_i \right)=nR \left(T_f-T_i \right) \tag{II}
\end{gather}
\]
o número de mols é dado por
\[
\begin{gather}
\bbox[#99CCFF,10px]
{n=\frac{m}{M}} \tag{III}
\end{gather}
\]
substituindo a equação (III) na equação (II)
\[
\begin{gather}
p\left(V_f-V_i\right)=\frac{m}{M}R\left(T_f-T_i\right) \tag{IV}
\end{gather}
\]
substituindo a equação (IV) na equação (I)
\[
\begin{gather}
W=\frac{m}{M}R\left(T_f-T_i\right)
\end{gather}
\]
substituindo os valores dados no problema
\[
\begin{gather}
W=\frac{1}{2}\times 8,32\times(373-273) \\[5pt]
W=\frac{1}{2}\times 8,32\times 100 \\[5pt]
W=8,32\times 50
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
\bbox[#FFCCCC,10px]
{W=416\;\mathrm J}
\end{gather}
\]
