Exercício Resolvido de Termodinâmica
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Calcular, em calorias, o trabalho necessário para vencer a pressão atmosférica de uma atmosfera durante a solidificação de 10 kg de água a 0° C. A massa específica do gelo é 0,917 g/cm3 a 0° C e a da água é 1 g/cm3. Adote o equivalente mecânico do calor como sendo 1 cal = 4,18 J.

Dados do problema:

  • Massa de água: m = 10 kg;
  • Pressão atmosférica: p = 1 atm;
  • Massa específica do gelo: μg = 0,917 g/cm3;
  • Massa específica da água: μa = 1 g/cm3;
  • Equivalência entre caloria e joule: 1 cal = 4,18 J.

Esquema do problema:

No início temos água a 0° C e no final temos gelo a 0° C, como não há mudança de temperatura podemos adotar que o recipiente não sofre mudança de volume durante o congelamento da água. Assim a área A da superfície do líquido será a mesma da superfície do gelo no final da transformação.

Figura 1

A superfície da água sofre uma pressão p da atmosfera devido à força (força peso) da coluna de ar sobre a superfície livre da água; Quando a água se congela ela se expande, como ela está contida pelas paredes laterais e inferior do recipiente ela só pode se expandir para cima, nesta expansão a superfície se desloca de uma altura h, para que este deslocamento ocorra a água deve exercer uma força F contra a pressão atmosférica.

Solução:

Em primeiro lugar devemos converter as massas específicas, da água e do gelo, dadas em gramas por centímetro cúbico para quilogramas por metro cúbico e a pressão atmosférica dada em atmosferas para pascal, usadas no Sistema Internacional de Unidades (S.I.)

\[ \begin{align} \mu_g & =0,917\;\frac{\mathrm g}{\mathrm{cm^3}}\times\frac{1\;\mathrm{kg}}{1000\;\mathrm g}\times\frac{(100\;\mathrm{cm})^3}{(1\;\mathrm m)^3}= \\ & =0,917\;\frac{\mathrm{\cancel g}}{\mathrm{\cancel{cm^3}}}\times\frac{1\;\mathrm{kg}}{1000\;\mathrm{\cancel g}}\times\frac{1000000\;\mathrm{\cancel{cm}^3}}{1\;\mathrm m^3}= \\ & =0,917\times 1000\;\frac{\mathrm{kg}}{\mathrm m^3}=917\;\frac{\mathrm{kg}}{\mathrm m^3} \\[10pt] \mu_a & =1\;\frac{\mathrm g}{\mathrm{cm^3}}\times\frac{1\;\mathrm{kg}}{1000\;\mathrm g}\times\frac{(100\;\mathrm{cm})^3}{(1\;\mathrm m)^3}= \\ & =1\;\frac{\mathrm{\cancel g}}{\mathrm{\cancel{cm^3}}}\times\frac{1\;\mathrm{kg}}{1000\;\mathrm{\cancel g}}\times\frac{1000000\;\mathrm{\cancel{cm^3}}}{1\;\mathrm m^3}= \\ & =1\times 1000\;\frac{\mathrm{kg}}{\mathrm m^3}=1000\;\frac{\mathrm{kg}}{\mathrm m^3} \\[10pt] p & =1\;\mathrm{atm}=1,01\times 10^{5}\;\mathrm{Pa} \end{align} \]

O trabalho da força realizada contra a pressão atmosférica é dado por

\[ \begin{gather} \bbox[#99CCFF,10px] {W_{\small F}=Fd} \tag{I} \end{gather} \]

onde o deslocamento (d) é a altura que a superfície da água subiu enquanto se congelava, sendo d=h.
A pressão exercida pela força de expansão é dada por

\[ \begin{gather} \bbox[#99CCFF,10px] {p=\frac{F}{A}} \end{gather} \]
\[ \begin{gather} F=pA \tag{II} \end{gather} \]

substituindo a equação (II) na equação (I)

\[ \begin{gather} W_{\small F}=pAh \tag{III} \end{gather} \]

O termo Ah que aparece na equação (III) representa a variação de volume ΔV entre o volume final do gelo (Vg) e o volume inicial de água (Va) (Figura 2)

\[ \begin{gather} Ah=\Delta V=V_g-V_a \tag{IV} \end{gather} \]
Figura 2

substituindo a equação (IV) na equação (III)

\[ \begin{gather} W_{\small F}=p\left(V_g-V_a\right) \tag{V} \end{gather} \]

A massa específica de um corpo é dada por

\[ \begin{gather} \bbox[#99CCFF,10px] {\mu=\frac{m}{V}} \end{gather} \]
\[ \begin{gather} V=\frac{m}{\mu} \end{gather} \]

escrevendo esta equação para os volumes de água e de gelo

\[ \begin{gather} V_a=\frac{m}{\mu_a} \tag{VI-a} \end{gather} \]
\[ \begin{gather} V_g=\frac{m}{\mu_g} \tag{VI-b} \end{gather} \]

substituindo as equações (VI-a) e (VI-b) na equação (V)

\[ \begin{gather} W_{\small F}=p\left(\frac{m}{\mu_g}-\frac{m}{\mu_a}\right) \end{gather} \]

colocando a massa m em evidência

\[ \begin{gather} W_{\small F}=pm\left(\frac{1}{\mu_g}-\frac{1}{\mu_a}\right) \end{gather} \]

substituindo os valores dados no problema

\[ \begin{gather} W_{\small F}=1,01\times 10^{5}\times 10\times\left(\frac{1}{917}-\frac{1}{1000}\right) \\[5pt] W_{\small F}=1,01\times 10^4\times\left(0,0011-0,0010\right) \\[5pt] W_{\small F}=10100\times 0,0001 \\[5pt] W_{\small F}=1,01\;\mathrm J \end{gather} \]

Convertendo para calorias usamos a equivalência dada no problema fazendo uma regra de três

\[ \begin{gather} \frac{1\;\mathrm{cal}}{4,18\;\mathrm J}=\frac{Q}{1,01\;\mathrm J} \\[5pt] Q=\frac{1\;\mathrm{cal}\times(1,01\;\mathrm{\cancel J})}{4,18\;\mathrm{\cancel J}} \end{gather} \]
\[ \begin{gather} \bbox[#FFCCCC,10px] {Q=0,24\;\mathrm{cal}} \end{gather} \]
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