Um fio de arame está preso a uma parede numa de suas extremidades e ao solo na outra, é mantido tenso de
modo a formar um ângulo de 60° com a vertical. Um anel de massa 200 g pode deslizar ao longo desse fio.
A partir do repouso o anel se desloca por 10 m atingindo a velocidade de 5 m/s. Calcular o calor produzido
pelo atrito entre o anel e o fio nesse deslocamento. Adote a aceleração da gravidade local igual a
10 m/s2 e o equivalente mecânico do calor como sendo 1 cal = 4,18 J.
Dados do problema:
- Massa do anel: m = 200 g;
- Velocidade inicial do anel: v0 = 0;
- Velocidade final do anel: v = 5 m/s;
- Distância percorrida pelo anel: d = 10 m;
- Ângulo de inclinação do fio: θ = 60°;
- Aceleração da gravidade local: g = 10 m/s2 ;
- Equivalência entre caloria e joule: 1 cal = 4,18 J.
Esquema do problema:
Solução:
Em primeiro lugar devemos converter a massa dada em gramas para quilogramas usadas no
Sistema Internacional de Unidades (S.I.)
\[
\begin{gather}
m=200\;\mathrm{\cancel g}\times\frac{1\;\mathrm{kg}}{1000\mathrm{\cancel g}}=0,2\;\mathrm{kg}
\end{gather}
\]
Adotamos um sistema de referência orientado na direção do arame com sentido descendente. No anel atuam as
seguintes forças (Figura 2):
- \( \vec P \): força peso;
- \( {\vec F}_{at} \): força de atrito;
- \( \vec N \): reação normal do arame sobre o anel.
A força peso pode ser decomposta em duas componentes (Figura 3-A), uma componente paralela ao eixo-
x
(
\( {\vec P}_{\small P} \))
e outra componente normal ou perpendicular
(
\( {\vec P}_{\small N} \)).
Desenhando as forças num sistema de eixos coordenados (Figura 3-B)
\[
\begin{gather}
P_{\small P}=P\cos 60° \tag{I-a}
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
P_{\small N}=P\operatorname{sen}60° \tag{I-b}
\end{gather}
\]
O trabalho total
(
\( W \))
realizado será a soma dos trabalhos de todas as forças que atuam sobre o anel, trabalho da força de
atrito
(
\( _{\small{F_{at}}}W \)),
trabalho da componente paralela da força peso
(
\( _{\small{P_P}}W \)),
trabalho da componente normal da força peso
(
\( _{\small{P_N}}W \))
e trabalho da reação normal
(
\( _{\small N}W \)).
\[
\begin{gather}
W={_{\small{F_{at}}}}W+{_{\small{P_P}}}{W+{_{\small{P_N}}}W+{_{\small N}}W} \tag{II}
\end{gather}
\]
O trabalho de uma força é dado por
\[
\begin{gather}
\bbox[#99CCFF,10px]
{_{\small F}W=Fd\cos\theta} \tag{III}
\end{gather}
\]
onde d é o deslocamento do corpo e θ é o ângulo entre a força e a direção de deslocamento.
O trabalho da força de atrito é o que desejamos encontrar
(\( _{\small{F_{at}}}W \)).
- Aplicando a equação (III) o trabalho da componente paralela da força peso é dado por
\[
\begin{gather}
_{\small{P_P}}W=P_{\small P}d\cos\theta \tag{IV}
\end{gather}
\]
substituindo a equação de (I-a) e o ângulo θ, entre a componente da força e a direção do deslocamento
(θ=0° - Figura 4), na equação (IV)
\[
\begin{gather}
_{\small{P_P}}W=P\cos 60°d\cos\theta \tag{V}
\end{gather}
\]
sendo a força peso dada por
\[
\begin{gather}
\bbox[#99CCFF,10px]
{P=mg} \tag{VI}
\end{gather}
\]
substituindo a equação (VI) na equação (V)
\[
\begin{gather}
_{\small{P_P}}W=mg\cos 60°d\cos 0°
\end{gather}
\]
Da Trigonometria
\( \cos 60°=\dfrac{1}{2} \)
substituindo os valores dados
\[
\begin{gather}
_{\small{P_P}}W=0,2\times 10\times\frac{1}{2}\times 10\times 1 \\[5pt]
_{\small{P_P}}W=10\;\mathrm J \tag{VII}
\end{gather}
\]
- O trabalho da componente normal da força peso é nulo
\[
\begin{gather}
_{\small{P_N}}W=0 \tag{VIII}
\end{gather}
\]
pois a componente normal é perpendicular (θ=90° - Figura 4) ao deslocamento.
Observação: Fazendo o cálculo da componente normal da força peso
\[
\begin{gather}
_{\small{P_N}}W=P_{\small N}d\cos\theta \\[5pt]
_{\small{P_N}}W=P_{\small N}d\cos 90°
\end{gather}
\]
sendo
\( \cos 90°=0 \)
\[
\begin{gather}
_{P_{\small N}}W=0,2\times 10\times\frac{1}{2}\times 10\times 0 \\[5pt]
_{\small{P_N}}W=0
\end{gather}
\]
- O trabalho da reação normal também é nulo
\[
\begin{gather}
_{\small N}W=0 \tag{IX}
\end{gather}
\]
pois a reação normal é perpendicular (θ=90° - Figura 4) ao deslocamento.
Observação: Fazendo o cálculo da reação normal
\[
\begin{gather}
_{\small N}W=Nd\cos\theta \\[5pt]
_{\small N}W=Nd\cos 90°
\end{gather}
\]
sendo
\( \cos 90°=0 \),
não é preciso substituir os outros dados
\[
\begin{gather}
_{\small{P_N}}W=Nd\times 0 \\[5pt]
_{P_{\small N}}W=0
\end{gather}
\]
Substituindo as equações (VII), (VIII) e (IX) na equação (II)
\[
\begin{gather}
W=_{\small{F_{at}}}W+10+0+0 \\[5pt]
W=_{\small{F_{at}}}W+10 \tag{X}
\end{gather}
\]
Pelo Teorema da Energia Cinética o trabalho total realizado é igual a variação da energia cinética
entre dois pontos
\[
\begin{gather}
W=\frac{mv_f^2}{2}-\frac{mv_{i}^2}{2} \tag{XI}
\end{gather}
\]
substituindo os dados do problema
\[
\begin{gather}
W =\frac{0,2\times 5^2}{2}-\frac{0,2\times 0^2}{2} \\[5pt]
W=\frac{0,2\times 25}{2}-\frac{0,2\times 0}{2} \\[5pt]
W =0,1\times 25-0 \\[5pt]
W=0,1\times 25 \\[5pt]
W =2,5\;\mathrm J \tag{XII}
\end{gather}
\]
substituindo o resultado (XII) na equação (X)
\[
\begin{gather}
2,5=_{\small{F_{at}}}W+10 \\[5pt]
2,5-10=_{\small{F_{at}}}W \\[5pt]
_{\small{F_{at}}}W=-7,5\;\mathrm J
\end{gather}
\]
o sinal de negativo indica que é o trabalho de uma força resistiva.
Convertendo para calorias usamos a equivalência dada no problema
\[
\begin{gather}
\frac{1\;\mathrm{cal}}{4,18\;\mathrm J}=\frac{Q}{-7,5\;\mathrm J} \\[5pt]
Q=\frac{1\;\mathrm{cal}\times(-7,5\;\mathrm J)}{4,18\;\mathrm J} \\[5pt]
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
\bbox[#FFCCCC,10px]
{Q=-1,8\;\mathrm{cal}}
\end{gather}
\]
