Um gás sofre uma transformação, mostrada no gráfico p=f(T). Sendo a
Constante universal dos gases perfeitos R=8,31 J/mol.K, o número de mols do gás n=5,
o calor molar do gás a volume constante CV=5 cal/mol.K e 1 cal=4,18 J. Determine:
a) A transformação sofrida pelo gás;
b) O volume do gás durante o processo;
c) A quantidade de calor que o gás recebe durante a transformação;
d) A variação da energia interna do gás nessa transformação.
Dados do problema:
- Número de mols do gás: n = 5 mol;
- Calor molar do gás a volume constante: CV = 5 cal/mol.K;
- Constante universal dos gases perfeitos: R = 8,31 J/mol.K;
- Equivalente mecânico do calor: 1 cal = 4,18 J.
Solução:
a) Usando a Lei dos Gases durante uma transformação
\( \dfrac{pV}{T}=k \),
onde k é constante, escrevendo
\( p=\dfrac{k}{V}T \),
vemos no gráfico que a transformação é linear, então
\( \dfrac{k}{V} \)
é constante, portanto V também é constante e a transformação é isométrica
(ou isovolumétrica, ou isocórica).
Observação: A equação
\( p=\frac{k}{V}T \)
que caracteriza a transformação isométrica é uma função de
1.° Grau do tipo
\( y=ax+b \),
onde podemos fazer as seguintes associações
\[
\begin{array}{c}
y & = & a & x & + & b \\
\downarrow & & \downarrow & \downarrow & & \downarrow \\
p & = & \dfrac{k}{V} & T & + & 0
\end{array}
\]
b) A partir do gráfico obtemos o par de valores T = 500 K e p = 2000 N/m2,
utilizando a Equação de Clapeyron
\[
\begin{gather}
\bbox[#99CCFF,10px]
{pV=nRT}
\end{gather}
\]
e os dados do problema
\[
\begin{gather}
2000V=5\times 8,31\times 500 \\[5pt]
V=\frac{20775}{2000}
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
\bbox[#FFCCCC,10px]
{V=10,4\;\mathrm{m}^3}
\end{gather}
\]
c) A quantidade de calor recebida pelo gás é dada por
\[
\begin{gather}
\bbox[#99CCFF,10px]
{Q=nC_{V}\Delta T}
\end{gather}
\]
A temperatura inicial do gás é de T1 = 200 K e a temperatura final de
T2 = 500 K, portanto a variação da temperatura será de
\[
\Delta T=T_2-T_1=500-200=300\;\mathrm K
\]
e utilizando os outros dados do problema
\[
\begin{gather}
Q=5\times 5\times 300 \\[5pt]
Q=7500\;\mathrm{cal}
\end{gather}
\]
convertendo este valor para Joules
\[
\begin{gather}
Q=7500\;\cancel{\mathrm{cal}}\times\frac{4,18\;\mathrm{J}}{1\;\cancel{\mathrm{cal}}}
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
\bbox[#FFCCCC,10px]
{Q=31350\;\mathrm J}
\end{gather}
\]
d) Usando Primeira Lei da Termodinâmica
\[
\begin{gather}
\bbox[#99CCFF,10px]
{\Delta U=Q-W}
\end{gather}
\]
o trabalho W é dado por
\[
\begin{gather}
\bbox[#99CCFF,10px]
{W=p\Delta V}
\end{gather}
\]
mas a transformação é isométrica, assim ΔV é igual a zero, e temos que
ΔU = Q
\[
\begin{gather}
\bbox[#FFCCCC,10px]
{\Delta U=31350\;\mathrm J}
\end{gather}
\]
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