Um gás perfeito tem um volume inicial de 3,0 litros. Expande-se isotermicamente a 300 kelvins até que seu
volume dobre. Se a expansão tivesse ocorrido a 600 kelvins, qual a relação entre os trabalhos realizados
pelo gás?
Dados do problema:
- Volume inicial: V1 = 3,0 ℓ;
- Volume final: V2 = 6,0 ℓ;
- Temperatura da primeira expansão: T1 = 300 K;
- Temperatura da segunda expansão: T2 = 600 K.
Esquema do problema:
O gráfico de uma transformação isotérmica é uma hipérbole, com a curva da temperatura mais alta em uma
posição mais afastada dos eixos P e V.
Solução:
O trabalho
\( \tau \)
será calculado pela área sob a curva do Gráfico 1 entre os volumes, inicial (V1) e final
V2, para uma transformação isotérmica está área é calculada pela seguinte fórmula
\[
\begin{gather}
\bbox[#99CCFF,10px]
{\tau=nRT\ln \left(\frac{V_2}{V_1}\right)}
\end{gather}
\]
Para a transformação à temperatura de 300 K o trabalho será, pelo Gráfico 2
\[
\begin{gather}
\tau_1=nRT\ln\left(\frac{V_2}{V_1}\right) \\[5pt]
\tau_1=300nR\ln\left(\frac{6,0}{3,0}\right) \tag{I}
\end{gather}
\]
representado pela área em cinza sob a isoterma de
T1=300 K (em azul no gráfico).
Para a transformação à temperatura de 600 K o trabalho será, pelo Gráfico 3
\[
\begin{gather}
\tau_2=nRT\ln\left(\frac{V_2}{V_1}\right) \\[5pt]
\tau_2=600nR\ln\left(\frac{6,0}{3,0}\right) \tag{II}
\end{gather}
\]
representado pela área em cinza sob a isoterma de
T2=600 K (em vermelho no gráfico).
A relação entre os trabalhos nas duas transformações é dada dividindo-se a equação (I) pela equação (II)
\[
\begin{gather}
\frac{\tau_2}{{\tau }_1}=\frac{600\cancel{n}\cancel R\cancel{\ln\left(\dfrac{6,0}{3,0}\right)}}{300\cancel{n}\cancel R\cancel{\ln\left(\dfrac{6,0}{3,0}\right)}} \\[5pt]
\frac{\tau_2}{\tau_1}=\frac{600}{300}
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
\bbox[#FFCCCC,10px]
{\frac{{\tau }_2}{{\tau }_1}=2}
\end{gather}
\]
