Um capilar fechado na extremidade inferior e aberto na superior, possui ar preso na parte inferior,
por uma coluna de mercúrio como mostrado na figura. O capilar é inclinado de 60° em relação à
vertical, qual o comprimento da coluna de ar nesta condição? Dado: pressão do ar no local
1,0×105 Pa, densidade do mercúrio 13,6 g/cm3, aceleração da gravidade local
9,8 m/s2.
Dados do problema:
- Altura da coluna de mercúrio: h = 15 cm;
- Altura inicial da coluna de ar: h1 = 20 cm;
- Inclinação do capilar: 60°;
- Pressão atmosférica no local: p0 = 1,0×105 Pa;
- Densidade do mercúrio: μ = 13,6 g/cm3;
- Aceleração da gravidade no local: g = 9,8 m/s2.
Esquema do problema:
Na situação inicial (Figura 1-A) a coluna de ar está sob a ação da pressão da coluna de mercúrio e da
pressão atmosférica. Quando o capilar é inclinado temos da Hidrostática que apenas a componente
vertical, H, contribui para fazer pressão sobre a coluna de ar (Figura 1-B).
Esta situação é equivalente ao capilar na vertical com a coluna de ar presa por uma coluna de mercúrio de
altura H e pela pressão atmosférica (Figura 1-C).
Solução:
Em primeiro lugar devemos converter a densidade do mercúrio dada em gramas por centímetro cúbico
(g/cm3) para quilogramas por metro cúbico (kg/m3) e as medidas do capilar dadas em
centímetros (cm) para metros (m) usados no Sistema Internacional (S.I.)
\[
\begin{align}
\mu & =13,6\;\frac{\cancel{\mathrm g}}{\mathrm{cm^3}}\times\frac{10^{-3}\;\mathrm{kg}}{1\;\cancel{\mathrm g}}\times\frac{(1\;\mathrm{cm})^3}{(10^{-2}\;\mathrm{m})^3}=13,6\;\frac{1}{\cancel{\mathrm{cm^3}}}\;\mathrm{kg}\times\frac{1\;\cancel{\mathrm{cm^3}}}{10^{-6}\;\mathrm{m}^3}=\\
& =13,6\times 10^{-3}\times 10^{6}\;\frac{\mathrm{kg}}{\;\mathrm{m}^3}=13,6\times 10^3\;\frac{\mathrm{kg}}{\;\mathrm{m}^3}\\[10pt]
&\qquad\qquad\qquad h=15\;\mathrm{cm}=15\times 10^{-2}\;\mathrm{m}=0,15\;\mathrm{m}\\[10pt]
&\qquad\qquad\qquad h_1=20\;\mathrm{cm}=20\times 10^{-2}\;\mathrm{m}=0,20\;\mathrm{m}
\end{align}
\]
Usando Lei Geral dos Gases Perfeitos
\[
\begin{gather}
\bbox[#99CCFF,10px]
{\frac{p_1V_1}{T_1}=\frac{p_2V_2}{T_2}}
\end{gather}
\]
como as temperaturas, inicial e final, são iguais, T1 = T2, temos uma
transformação isotérmica dada pela Lei de Boyle
\[
\begin{gather}
\bbox[#99CCFF,10px]
{p_1V_1=p_2V_2} \tag{I}
\end{gather}
\]
A pressão é dada pela Lei de Stevin
\[
\begin{gather}
\bbox[#99CCFF,10px]
{p=p_0+\mu gh} \tag{II}
\end{gather}
\]
sendo o capilar um cilindro o volume é dado por
\[
\begin{gather}
\bbox[#99CCFF,10px]
{V=Ah} \tag{III}
\end{gather}
\]
Aplicando a equação (II) para a situação inicial
\[
\begin{gather}
p_1=p_0+\mu gh \tag{IV}
\end{gather}
\]
aplicando a equação (III) temos o volume do capilar
\[
\begin{gather}
V_1=Ah_1 \tag{V}
\end{gather}
\]
Depois de inclinado o capilar, a pressão sobre a coluna de ar (pressão do ar mais a pressão da componente
vertical da coluna de mercúrio), será dada aplicando a equação (II)
\[
\begin{gather}
p_2=p_0+\mu gH
\end{gather}
\]
onde a altura H vale (Figura 1-B)
\[
\begin{gather}
\cos 60°=\frac{\text{cateto adjacente}}{\text{hipotenusa}}=\frac{H}{h}\\H=h\cos 60°
\end{gather}
\]
portanto
\[
\begin{gather}
p_2=p_0+\mu gh\cos 60° \tag{VI}
\end{gather}
\]
e para o volume da coluna de ar
\[
\begin{gather}
V_2=Ah_2 \tag{VII}
\end{gather}
\]
Substituindo as equações (IV), (V), (VI) e (VII) na equação (I)
\[
\begin{gather}
(p_0+\mu gh)Ah_1=(p_0+\mu gh\cos 60°)Ah_2\\[5pt]
(p_0+\mu gh)h_1=(p_0+\mu gh\cos 60°)h_2\\[5pt]
h_2=\frac{(p_0+\mu gh)h_1}{p_0+\mu gh\cos 60°}
\end{gather}
\]
Da Trigonometria
\( \cos 60°=\dfrac{1}{2} \)
substituindo os dados numéricos do problema
\[
\begin{gather}
h_2=\frac{(1,0\times 10^5+13,6\times 10^3\times 9,8\times 0,15)\times 0,20}{1,0\times 10^5+13,6\times 10^3\times 9,8\times 0,15\times \dfrac{1}{2}}\\[5pt]
h_2=0,22\;\mathrm{m}
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
\bbox[#FFCCCC,10px]
{h_2=22\;\mathrm{cm}}
\end{gather}
\]
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