Exercício Resolvido de Gases
publicidade

Um peixe no fundo, de um lago de 15 m de profundidade emite uma bolha de ar de volume V0, sendo a temperatura no fundo do lago 5 °C e na superfície 17 °C. Calcule o volume da bolha quando atinge a superfície do lago. Dados: pressão atmosférica p0 = 1,01.105 Pa, densidade da água μ = 1,0 g/cm3 e aceleração da gravidade g = 9,8 m/s2.

Dados do problema:

  • Volume inicial da bolha: V0;
  • Profundidade do lago: h = 15 m;
  • Temperatura no fundo do lago: t1 = 5 °C;
  • Temperatura na superfície do lago: t2 = 17 °C;
  • Pressão atmosférica: p0 = 1,01.105 Pa;
  • Densidade da água: μ = 1,0 g/cm3;
  • Aceleração da gravidade: g = 9,8 m/s2.

Esquema do problema:

Figura 1

Solução:

Em primeiro lugar devemos converter a densidade da água dada em gramas por centímetro cúbico (g/cm3) para quilogramas por metro cúbico (kg/m3) usada no Sistema Internacional de Unidades (S.I.) e as temperaturas de graus Celsius (°C) para Kelvins (K).

\[ \begin{align} \mu & =1,0\;\frac{\cancel{\mathrm g}}{\mathrm{cm^3}}\times\frac{10^{-3}\;\mathrm{kg}}{1\;\cancel{\mathrm g}}\times\frac{(1\;\mathrm{cm})^3}{(10^{-2}\;\mathrm{m})^3}=1,0\;\frac{1}{\cancel{\mathrm{cm^3}}}\;\mathrm{kg}\times\frac{1\;\cancel{\mathrm{cm^3}}}{10^{-6}\;\mathrm{m}^3}=\\ & =1,0\times10^{-3}\times 10^{6}\;\frac{\mathrm{kg}}{\;\mathrm{m}^3}=1,0\times 10^3\;\frac{\mathrm{kg}}{\;\mathrm{m}^3} \\[10pt] & \qquad\qquad\qquad T_1=t_{1C}+273=5+273=278\;\mathrm{K} \\[10pt] & \qquad\qquad\qquad T_2=t_{2C}+273=17+273=290\;\mathrm{K} \end{align} \]

No fundo do lago a bolha de ar está sob a pressão da coluna de água sobre ela e da pressão atmosférica acima do lago (Figura 2), pela Lei de Stevin

\[ \begin{gather} \bbox[#99CCFF,10px] {p_1=p_0+\mu gh} \tag{I} \end{gather} \]

o volume será

\[ \begin{gather} V_1 = V_0 \tag{II} \end{gather} \]
Figura 2

Quando a bolha chega à superfície ela está apenas sob a ação da pressão atmosférica (Figura 3)

\[ \begin{gather} p_2=p_0 \tag{III} \end{gather} \]
Figura 3

Considerando a bolha de ar um gás perfeito usamos a Lei dos Gases Perfeitos aplicada as situações no fundo, e na superfície do lago

\[ \begin{gather} \bbox[#99CCFF,10px] {\frac{p_1V_1}{T_1}=\frac{p_2V_2}{T_2}} \tag{IV} \end{gather} \]

substituindo os valores de (I), (II) e (III) na equação (IV)

\[ \begin{gather} \frac{(p_0+\mu gh)V_0}{T_1}=\frac{p_0V_2}{T_2} \\[5pt] V_2=\frac{T_2}{T_1}\frac{(p_0+\mu gh)}{p_0}V_0 \end{gather} \]

substituindo os valores fornecidos no enunciado

\[ \begin{gather} V_2=\frac{T_2}{T_1}\frac{(p_0+\mu gh)}{p_0}V_0 \\[5pt] V_2=\frac{290}{278}\times\frac{(1,01\times 10^5+1,0\times 10^3\times 9,8\times 15)}{1,01\times 10^5}V_0 \\[5pt] V_2=1,04\times\frac{(1,01\times 10^5+1,47\times 10^5)}{1,01\times 10^5}V_0 \\[5pt] V_2=1,04\times\frac{2,48\times 10^5}{1,01\times 10^5}V_0 \end{gather} \]
\[ \begin{gather} \bbox[#FFCCCC,10px] {V_2=2,6V_0} \end{gather} \]
publicidade