Exercício Resolvido de Gases
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Um peixe no fundo, de um lago de 15 m de profundidade emite uma bolha de ar de volume V0, sendo a temperatura no fundo do lago 5 °C e na superfície 17 °C. Calcule o volume da bolha quando atinge a superfície do lago. Dados: pressão atmosférica p0 = 1,01.105 Pa, densidade da água μ = 1,0 g/cm3 e aceleração da gravidade g = 9,8 m/s2.


Dados do problema:
  • Volume inicial da bolha:    V0;
  • Profundidade do lago:    h = 15 m;
  • Temperatura no fundo do lago:    t1 = 5 °C;
  • Temperatura na superfície do lago:    t2 = 17 °C;
  • Pressão atmosférica:    p0 = 1,01.105 Pa;
  • Densidade da água:    μ = 1,0 g/cm3;
  • Aceleração da gravidade:    g = 9,8 m/s2.
Esquema do problema:

Figura 1

Solução

Em primeiro lugar devemos converter a densidade da água dada em gramas por centímetro cúbico (g/cm3) para quilogramas por metro cúbico (kg/m3) usada no Sistema Internacional (S.I.) e as temperaturas de graus Celsius (°C) para Kelvins (K).
\[ \begin{gather} \mu=1,0\;\frac{\cancel{\text{g}}}{\text{cm}^{3}}.\frac{10^{-3}\;\text{kg}}{1\;\cancel{\text{g}}}.\frac{(1\;\text{cm})^{3}}{(10^{-2}\;\text{m})^{3}}=1,0\;\frac{1}{\cancel{\text{cm}^{3}}}\;\text{kg}.\frac{1\;\cancel{\text{cm}^{3}}}{10^{-6}\;\text{m}^{3}}=1,0.10^{-3}.10^{6}\;\frac{\text{kg}}{\;\text{m}^{3}}=1,0.10^{3}\;\frac{\text{kg}}{\;\text{m}^{3}}\\[10pt] T_{1}=t_{1C}+273=5+273=278\;\text{K}\\[10pt] T_{2}=t_{2C}+273=17+273=290\;\text{K} \end{gather} \]
No fundo do lago a bolha de ar está sob a pressão da coluna de água sobre ela e da pressão atmosférica acima do lago (Figura 2), pela Lei de Stevin
\[ \begin{gather} \bbox[#99CCFF,10px] {p_{1}=p_{0}+\mu gh} \tag{I} \end{gather} \]
o volume será
\[ \begin{gather} V_{1} = V_{0} \tag{II} \end{gather} \]
Figura 2

Quando a bolha chega à superfície ela está apenas sob a ação da pressão atmosférica (Figura 3)
\[ \begin{gather} p_{2} = p_{0} \tag{III} \end{gather} \]
Figura 3

Considerando a bolha de ar um gás perfeito usamos a Lei dos Gases Perfeitos aplicada as situações no fundo, e na superfície do lago
\[ \begin{gather} \bbox[#99CCFF,10px] {\frac{p_{1}V_{1}}{T_{1}}=\frac{p_{2}V_{2}}{T_{2}}} \tag{IV} \end{gather} \]
substituindo os valores de (I), (II) e (III) na expressão (IV)
\[ \begin{gather} \frac{(p_{0}+\mu gh)V_{0}}{T_{1}}=\frac{p_{0}V_{2}}{T_{2}}\\[5pt] V_{2}=\frac{T_{2}}{T_{1}}\frac{(p_{0}+\mu gh)}{p_{0}}V_{0} \end{gather} \]
substituindo os valores fornecidos no enunciado
\[ \begin{gather} V_{2}=\frac{T_{2}}{T_{1}}\frac{(p_{0}+\mu gh)}{p_{0}}V_{0}\\[5pt] V_{2}=\frac{290}{278}.\frac{(1,01.10^{5}+1,0.10^{3}.9,8.15)}{1,01.10^{5}}V_{0}\\[5pt] V_{2}=1,04.\frac{(1,01.10^{5}+1,47.10^{5})}{1,01.10^{5}}V_{0}\\[5pt] V_{2}=1,04.\frac{2,48.10^{5}}{1,01.10^{5}}V_{0} \end{gather} \]
\[ \begin{gather} \bbox[#FFCCCC,10px] {V_{2}=2,6V_{0}} \end{gather} \]
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