Exercício Resolvido de Gases
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Os extintores de incêndio vendidos para automóveis têm a forma de uma cápsula cilíndrica com extremidades hemisféricas, conforme indica a figura. Eles são feitos de ferro e contêm cerca de 1 litro de CO2, sob pressão de 2,8 atmosferas na temperatura de 21 ºC. Considere que o CO2 se comporta como um gás ideal.
a) Calcule o volume de ferro utilizado na confecção da cápsula em cm3;
b) Calcule a pressão de CO2, em atmosferas, na temperatura de 0 ºC.


Dados do problema:
  • Comprimento da parte cilíndrica do extintor:    L = 28 cm;
  • Diâmetro do cilindro e dos hemisférios:    d = 8 cm;
  • Volume de CO2 contido no extintor:    Vg = 1 ℓ.

Estado inicial Estado final
ti = 21ºC; tf = 0ºC
pi = 2,8 atm pf

Solução

Em primeiro lugar devemos converter as unidades do problema, o volume do gás dado em litros (ℓ) para centímetros cúbicos (cm3), a temperatura dada em graus celsius (°C) para kelvins (K)
\[ \begin{gather} V_{g}=1\;\cancel{\ell}.\frac{1000\;\text{cm}^{3}}{1\;\cancel{\ell}}=1000\;\text{cm}^{3} \end{gather} \]
Para a temperatura temos a fórmula de conversão de graus Celsius para kelvins
\[ \begin{gather} \bbox[#99CCFF,10px] {T=t_{c}+273} \end{gather} \]
\[ \begin{gather} T_{1}=21+273=294\;\text{K}\\[10pt] T_{2}=0+273=273\;\text{K} \end{gather} \]
a) O volume do ferro utilizado para construir o extintor será obtido pelo volume da cápsula menos o volume do gás contido nela. Para calcular o volume da cápsula vamos dividi-la em três partes separando os hemisférios das extremidades do cilindro central (Figura 1). Unindo os dois hemisférios temos uma esfera, calculando-se o volume desta, e somando ao volume do cilindro teremos o volume de toda cápsula.
Figura 1

Os raios da esfera e do cilindro serão a metade do diâmetro da cápsula dado no problema
\[ \begin{gather} r=\frac{d}{2}\\[5pt] r=\frac{8}{2}\\[5pt] r=4\;\text{cm} \end{gather} \]
O volume de uma esfera é dado por
\[ \begin{gather} \bbox[#99CCFF,10px] {V=\frac{4}{3}\pi r^{3}} \end{gather} \]
Adotamos π = 3,14, então o volume da esfera será
\[ \begin{gather} V_{1}=\frac{4}{3}.3,14.4^{3}\\[5pt] V_{1}=\frac{4}{3}.3,14.64\\[5pt] V_{1}\approx 267,9\;\text{cm}^{3} \tag{I} \end{gather} \]
O volume de um cilindro é dado por
\[ \begin{gather} \bbox[#99CCFF,10px] {V=Bh} \tag{II} \end{gather} \]
onde B é a área da base do cilindro, dado pela área de um círculo
\[ \begin{gather} \bbox[#99CCFF,10px] {B=\pi r^{2}} \tag{III} \end{gather} \]
substituindo a expressão (III) na expressão (II), o volume do cilindro será
\[ \begin{gather} V=\pi r^{2}h \end{gather} \]
sendo h = 28 cm a altura do cilindro teremos para o volume
\[ \begin{gather} V_{2}=3,14.4^{2}.28\\[5pt] V_{2}=1406,7\;\text{cm}^{3} \tag{IV} \end{gather} \]
Então o volume da cápsula será a soma dos resultados (I) e (IV)
\[ \begin{gather} V_{c}=V_{1}+V_{2}\\[5pt] V_{c}=267,9+1406,7\\[5pt] V_{c}=1674,6\;\text{cm}^{3} \end{gather} \]
O volume de ferro será a diferença entre o volume da cápsula e o volume ocupado pelo gás
\[ \begin{gather} V_{f}=V_{c}-V_{g}\\[5pt] V_{f}=1674,6-1000 \end{gather} \]
\[ \begin{gather} \bbox[#FFCCCC,10px] {V_{f}=674,6\;\text{cm}^{3}} \end{gather} \]

b) Durante a mudança de temperatura de 21ºC para 0ºC o volume não muda (continua sendo o volume do extintor), temos uma transformação isométrica (ou isocórica ou isovolumétrica), para o cálculo da pressão final usamos a Lei de Gay-Lussac
\[ \begin{gather} \bbox[#99CCFF,10px] {\frac{p_{i}}{T_{i}}=\frac{p_{f}}{T_{f}}} \end{gather} \]
\[ \begin{gather} \frac{2,8}{294}=\frac{p_{f}}{273}\\[5pt] p_{f}=\frac{2,8}{294}.273 \end{gather} \]
\[ \begin{gather} \bbox[#FFCCCC,10px] {p_{f}=2,6\;\text{atm}} \end{gather} \]
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