Um recipiente metálico de certa capacidade está cheio de ar a 27 °C. Aquece-se o conjunto; a pressão
permanece constante em virtude da ação de uma válvula que permite o escape de ar. A que temperatura deve
ser levado o conjunto para que escape 10% da massa de ar inicialamente colocada no recipiente? O
coeficiente de dilatação cúbica do metal é 0,0005 °C−1 e o ar é suposto um gás perfeito.
Dados do problema:
- Coeficiente de dilatação cúbica do metal: γ = 0,005 °C−1;
| Estado inicial |
Estado final |
| p1 = p |
p2 = p |
| V1 |
V2 |
| T1 = 27 °C = 300 K |
T2 |
| n1 |
n2 = 0,90 n1 |
Esquema do problema:
Como queremos que escape 10% da massa de ar, deve sobrar no recipiente os outros 90% da massa. Como
existe uma relação direta entre a massa de um gás e seu número de mols, portanto, se escapa do
recipiente 10% da massa, então, escapa 10% do número de mols do gás, e 90% permanecem no recipiente
(Figura 1).
Solução:
Como o gás é considerado perfeito podemos usar a Equação de Clapeyron para gases ideais
\[
\begin{gather}
\bbox[#99CCFF,10px]
{pV=nRT}
\end{gather}
\]
aplicado às situações inicial e final
\[
\begin{gather}
p_1V_1=n_1RT_1 \tag{I}
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
p_2V_2=n_2RT_2 \tag{II}
\end{gather}
\]
onde R é a constante universal dos gases, dividindo a equação (I) pela equação (II)
\[
\begin{gather}
\frac{\cancel{p}V_1}{\cancel{p}V_2}=\frac{n_1\cancel RT_1}{n_2\cancel RT_2} \\[5pt]
\frac{V_1}{V_2}=\frac{n_1T_1}{n_2T_2} \tag{III}
\end{gather}
\]
Para determinar a relação entre os volumes inicial, V1, e final, V2
lembremos de que o recipiente sofre dilatação durante o processo de aquecimento, a dilatação volumétrica
do recipiente é dada por
\[
\begin{gather}
\bbox[#99CCFF,10px]
{\Delta V=V_0\gamma \Delta t}
\end{gather}
\]
aplicando ao problema, ΔV = V2 − V1,
V0 = V1 e
ΔT = T2 − T1
\[
\begin{gather}
V_2-V_1=V_1\gamma(T_2-T_1) \\[5pt]
V_2=V_1+V_1\gamma(T_2-T_1) \\[5pt]
V_2=V_1[1+\gamma(T_2-T_1)] \\[5pt]
\frac{V_2}{V_1}=1+\gamma(T_2-T_1) \tag{IV}
\end{gather}
\]
invertendo a fração da equação (III) e substituindo na equação (IV)
\[
\begin{gather}
\frac{n_2T_2}{n_1T_1}=1+\gamma (T_2-T_1)
\end{gather}
\]
isolando o valor de T2
\[
\begin{gather}
\frac{n_2T_2}{n_1T_1}=1+\gamma T_2-\gamma T_1 \\[5pt]
\frac{n_2T_2}{n_1T_1}-\gamma T_2=1-\gamma T_1 \\[5pt]
T_2\left(\frac{n_2}{n_1T_1}-\gamma \right)=1-\gamma T_1 \\[5pt]
T_2=\frac{1-\gamma T_1}{\dfrac{n_2}{n_1T_1}-\gamma}
\end{gather}
\]
dos dados
\( \dfrac{n_2}{n_1}=0,90 \)
e substituindo os valores
\[
\begin{gather}
T_2=\frac{1-0,0005.300}{\dfrac{0,90}{300}-0,0005} \\[5pt]
T_2=\frac{1-0,15}{0,003-0,0005} \\[5pt]
T_2=\frac{0,85}{0,0025} \\[5pt]
T_2=340\;\mathrm K
\end{gather}
\]
Convertendo de Kelvins (K) para graus Celsius (°C)
\[
\begin{gather}
T=t_{\small C}+273 \\[5pt]
t_{\small C}=T-273 \\[5pt]
t_{\small C}=340-273 \\[5pt]
t_{\small C}=67 \;\mathrm{°C}
\end{gather}
\]
A temperatura final será de
340 K
ou
67 ºC.
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