Exercício Resolvido de Dilatação
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Quatro barras de ferro, tendo todas o mesmo comprimento L a 0° C, formam um losango articulado e uma das diagonais deste losango é constituída por uma barra de latão cujo comprimento é 2L1 a 0° C. Calcular qual deve ser a relação \( \dfrac{L_{1}}{L} \) para que distância entre os vértices livres se mantenha constante a qualquer temperatura. É conhecida a razão \( \dfrac{\alpha}{\alpha_{1}} \), entre os coeficientes de dilatação linear do ferro e do latão, e são desprezíveis os quadrados desses coeficientes.
Dados do problema:
- Comprimento das barras de ferro a 0° C: L;
- Comprimento da barra de latão a 0° C: 2L1;
- Relação entre os coeficientes de dilatação linear do ferro e do latão: \( \frac{\alpha}{\alpha_{1}} \).
Depois de uma alteração na temperatura (Δt) vamos chamar o comprimento final das barras de ferro de Lf e o comprimento final da barra de latão de L1f, como queremos que não haja variação na distância entre as extremidades livres do losango chamaremos esta distância de 2x nas duas situações (Figura 1).
Solução
A partir do sistema de barras mostrado na Figura1 podemos desenhar os triângulos mostrados na figura, onde aplicando o Teorema de Pitágoras às situações inicial e final
\[
\begin{gather}
L^{2}=x^{2}+L_{1}^{2} \tag{I}\\[8pt]
L_{f}^{2}=x^{2}+L_{1f}^{2} \tag{II}
\end{gather}
\]
A dilatação linear é dada por
\[ \bbox[#99CCFF,10px]
{L=L_{0}(1+\alpha \Delta t)}
\]
Aplicando esta fórmula para a barra de ferro
\[
\begin{gather}
L_{f}=L(1+\alpha \Delta t) \tag{III}
\end{gather}
\]
Para a barra de latão
\[
\begin{gather}
L_{1f}=L_{1}(1+\alpha_{1}\Delta t) \tag{IV}
\end{gather}
\]
subtraindo a expressão (II) da expressão (I)
\[
\begin{gather}
\frac{
\begin{matrix}
\qquad \qquad L^{2}=x^{2}+L_{1}^{2}\qquad \qquad \\
\qquad \qquad L_{f}^{2}=x^{2}+L_{1f}^{2}\qquad (\text{--})
\end{matrix}}
{L^{2}-L_{f}^{2}=0+L_{1}^{2}-L_{1f}^{2} }\\
L^{2}-L_{f}^{2}=L_{1}^{2}-L_{1f}^{2} \tag{V}
\end{gather}
\]
substituindo as expressões (III) e (IV) na expressão (V)
\[
\begin{gather}
L^{2}-\left[L(1+\alpha \Delta t)\right]^{2}=L_{1}^{2}-\left[L_{1}(1+\alpha_{1}\Delta t)\right]^{2}\\[5pt]
L^{2}-L^{2}(1+\alpha \Delta t)^{2}=L_{1}^{2}-L_{1}^{2}(1+\alpha_{1}\Delta t)^{2}
\end{gather}
\]
Os termos entre parênteses são Produtos Notáveis da forma
\[
(a+b)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}
\]
desenvolvendo os termos entre parênteses
\[
\begin{gather}
L^{2}-L^{2}(1+2\alpha \Delta t+\alpha ^{2}\Delta t^{2})=L_{1}^{2}-L_{1}^{2}(1+2\alpha_{1}\Delta t+\alpha_{1}^{2}\Delta t^{2})\\[5pt]
L^{2}-L^{2}-2L^{2}\alpha \Delta t-L^{2}\alpha ^{2}\Delta t^{2}=L_{1}^{2}-L_{1}^{2}-2L_{1}^{2}\alpha_{1}\Delta t-L_{1}^{2}\alpha_{1}^{2}\Delta t^{2}\\[5pt]
-2L^{2}\alpha \Delta t-L^{2}\alpha ^{2}\Delta t^{2}=-2L_{1}^{2}\alpha_{1}\Delta t-L_{1}^{2}\alpha_{1}^{2}\Delta t^{2}\\[5pt]
2L^{2}\alpha \Delta t+L^{2}\alpha ^{2}\Delta t^{2}=2L_{1}^{2}\alpha_{1}\Delta t+L_{1}^{2}\alpha_{1}^{2}\Delta t^{2}
\end{gather}
\]
o problema nos diz que os quadrados dos coeficientes de dilatação são desprezíveis, então podemos
“jogar fora” os termos
\( L^{2}\alpha ^{2}\Delta t^{2} \)
e
\( L_{1}^{2}\alpha_{1}^{2}\Delta t^{2} \)
reduzindo a expressão acima para
\[
\begin{gather}
\cancel{2}L^{2}\alpha \cancel{\Delta t}=\cancel{2}L_{1}^{2}\alpha_{1}\cancel{\Delta t}\\[5pt]
L^{2}\alpha =L_{1}^{2}\alpha_{1}\\[5pt]
\frac{L_{1}^{2}}{L^{2}}=\frac{\alpha}{\alpha_{1}}\\[5pt]
\left(\frac{L_{1}}{L}\right)^{2}=\frac{\alpha}{\alpha_{1}}
\end{gather}
\]
\[ \bbox[#FFCCCC,10px]
{\frac{L_{1}}{L}=\sqrt{\frac{\alpha}{\alpha_{1}}\;}}
\]
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