Exercício Resolvido de Dilatação
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Uma chapa metálica quadrada tem a 0 °C, 2,000 m de lado e um orifício circular de 1,000 mm de diâmetro, o coeficiente de dilatação linear do metal é 10.10−6 °C−1.
a) Determinar a área da chapa (com buraco e tudo) a 100 ºC.
b) O diâmetro final do orifício.


Dados do problema:
  • Lado da chapa:    L=2,000 m;
  • Diâmetro do orifício:    d=1,000 mm ;
  • Temperatura inicial:    t0 = 0 °C;
  • Temperatura final:    t1 = 100 °C;
  • Coeficiente de dilatação linear:    α = 10.10−6 °C−1.
Esquema do problema:


Figura 1

Solução

a) Em primeiro lugar o problema nos dá o coeficiente de dilatação linear, como queremos achar a área da chapa o coeficiente de dilatação superficial é dado por
\[ \bbox[#99CCFF,10px] {\beta =2\alpha} \]
\[ \begin{gather} \beta =2.10.10^{-6}\\ \beta=20.10^{-6}°C^{-1} \end{gather} \]
A área inicial (A0) da chapa a 0 °C, para uma chapa quadrada a área será
\[ \bbox[#99CCFF,10px] {A=L^{2}} \]
\[ \begin{gather} A_{0}=(2,000)^{2}\\ A_{0}=4,000\;\text{m}^{2} \end{gather} \]
A variação da área em função da temperatura é dada por
\[ \bbox[#99CCFF,10px] {\Delta A=A_{0}\beta \Delta t} \]
a variação da área é ΔA=A − A0, substituindo na expressão acima
\[ \begin{gather} A-A_{0}=A_{0}\beta (t-t_{0})\\ A=A_{0}+A_{0}\beta (t-t_{0})\\ A=4,000+4,000.20.10^{-6}.(100-0)\\ A=4,000+4,000.2.10^{1}.10^{-6}.10^{2}\\ A=4,000+8,000.10^{-3}\\ A=4,000+0,008 \end{gather} \]
\[ \bbox[#FFCCCC,10px] {A=4,008\;\text{m}^{2}} \]

b) Quando a temperatura aumenta a chapa se expande igualmente em todas as direções (Figura 2). Assim podemos considerar o buraco no meio da chapa como se fosse um círculo formado pelo mesmo material que a chapa e sofrendo expansão. Como neste item o problema pede o diâmetro do orifício vamos considerar este diâmetro como sendo uma pequena barra de comprimento L0 igual ao diâmetro d do orifício L0 = d = 1,000 mm. O comprimento da barra (diâmetro do orifício) será obtido por
\[ \bbox[#99CCFF,10px] {\Delta L=L_{0}\alpha \Delta t} \]

Figura 2

a variação do comprimento é ΔL=L − L0, substituindo na expressão acima
\[ \begin{gather} L-L_{0}=A_{0}\alpha (t-t_{0})\\ L=L_{0}+A_{0}\alpha (t-t_{0})\\ L=1,000+1,000.10.10^{-6}.(100-0)\\ L=1,000+1,000.1.10^{1}.10^{-6}.10^{2}\\ L=1,000+1,000.10^{-3}\\ L=4,000+0,001 \end{gather} \]
\[ \bbox[#FFCCCC,10px] {L=1,001\;\text{mm}} \]
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