Exercício Resolvido de Dilatação
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Um líquido possui peso específico ρL a 0 °C e coeficiente de dilatação γL. Um sólido de peso específico ρS a 0 °C possui um coeficiente de dilatação γS, γS > γL. Calcular a que temperatura este sólido flutuará no líquido.
Dados do problema:
- Peso específico do líquido a 0 °C: ρL;
- Coeficiente de dilatação do líquido: γL;
- Peso específico do sólido a 0 °C: ρS;
- Coeficiente de dilatação do sólido: γS;
- Temperatura inicial do sistema: t0 = 0 °C;
- Adotando a aceleração da gravidade: g.
Inicialmente o sistema está a uma temperatura de 0 °C, vamos assumir que nesta temperatura o sólido está no fundo do líquido, seu peso específico é maior que o peso específico do líquido. Seja VL o volume inicial do líquido e VS o volume inicial do sólido (Figura 1).
Quando o sistema é aquecido até uma temperatura t o líquido e o sólido se expandem, como o coeficiente de dilatação do sólido é maior que o coeficiente de dilatação do líquido, o volume do sólido VSt aumenta mais rapidamente que o volume do líquido VLt, e o peso específico do sólido diminui mais que o peso específico do líquido, fazendo o sólido subir.
Solução
O peso específico é dado por
\[
\begin{gather}
\bbox[#99CCFF,10px]
{\rho =\frac{P}{V}} \tag{I}
\end{gather}
\]
aplicando esta expressão ao líquido nas situações inicial e final
\[
\begin{gather}
\rho_{L}=\frac{m_{L}g}{V_{L}}\\[10pt]
\rho_{Lt}=\frac{m_{L}g}{V_{Lt}}
\end{gather}
\]
onde mL é a massa do líquido que permanece constante
\[
\begin{gather}
V_{L}=\frac{m_{L}g}{\rho_{L}} \tag{II-a}\\[10pt]
V_{Lt}=\frac{m_{L}g}{\rho_{Lt}} \tag{II-b}
\end{gather}
\]
A dilatação volumétrica é dada por
\[
\begin{gather}
\bbox[#99CCFF,10px]
{V=V_{0}(1+\gamma \Delta t)} \tag{III}
\end{gather}
\]
Substituindo as expressões (II-a) e (II-b) na expressão (III) com V = VLt e
V0 = VL e o valor do coeficiente de dilatação
\[
\begin{gather}
\frac{\cancel{m_{L}g}}{\rho_{Lt}}=\frac{\cancel{m_{L}g}}{\rho_{L}}(1+\gamma_{L}\Delta t)\\
\frac{1}{\rho_{Lt}}=\frac{1}{\rho_{L}}(1+\gamma_{L}\Delta t)\\
\rho_{Lt}=\frac{\rho_{L}}{1+\gamma_{L}\Delta t} \tag{IV}
\end{gather}
\]
Aplicando a expressão (I) ao sólido nas situações inicial e final
\[
\begin{gather}
\rho_{S}=\frac{m_{S}g}{V_{S}}\\[10pt]
\rho_{St}=\frac{m_{S}g}{V_{St}}
\end{gather}
\]
onde mS é a massa do sólido que permanece constante
\[
\begin{gather}
V_{S}=\frac{m_{S}g}{\rho_{S}} \tag{V-a}\\[10pt]
V_{St}=\frac{m_{S}g}{\rho_{St}} \tag{V-b}
\end{gather}
\]
Substituindo as expressões (V-a) e (V-b) na expressão (III) com V = VSt e
V0 = VS e o valor do coeficiente de dilatação
\[
\begin{gather}
\frac{\cancel{m_{S}g}}{\rho_{St}}=\frac{\cancel{m_{S}g}}{\rho_{S}}(1+\gamma_{S}\Delta t)\\
\frac{1}{\rho_{St}}=\frac{1}{\rho_{S}}(1+\gamma_{S}\Delta t)\\
\rho_{St}=\frac{\rho_{S}}{1+\gamma_{S}\Delta t} \tag{VI}
\end{gather}
\]
O problema quer saber em que temperatura o sólido flutuará no líquido, para que isso aconteça o peso
específico do sólido, nesta temperatura, devera ser menor que o peso específico do líquido, na mesma
temperatura, então devemos impor a condição
\[
\rho_{St}<\rho_{Lt}
\]
substituindo as expressões (IV) e (VI) nesta condição
\[
\frac{\rho_{S}}{1+\gamma_{S}\Delta t}<\frac{\rho_{L}}{1+\gamma_{L}\Delta t}
\]
multiplicando em “cruz'
\[
\begin{gather}
\rho_{S}(1+\gamma_{L}\Delta t)<\rho_{L}(1+\gamma_{S}\Delta t)\\[5pt]
\rho_{S}+\rho_{S}\gamma_{L}\Delta t<\rho_{L}+\rho_{L}\gamma_{S}\Delta t\\[5pt]
\rho_{S}-\rho_{L}<\rho_{L}\gamma_{S}\Delta t-\rho_{S}\gamma_{L}\Delta t\\[5pt]
\rho_{S}-\rho_{L}<(\rho_{L}\gamma_{S}-\rho_{S}\gamma_{L})\Delta t\\[5pt]
\Delta t>\frac{\rho_{S}-\rho_{L}}{\rho_{L}\gamma_{S}-\rho_{S}\gamma_{L}}
\end{gather}
\]
Como
\( \Delta t=t-t_{0} \)
e a temperatura inicial é nula (t0 = 0 °C)
\[
t-0>\frac{\rho_{S}-\rho_{L}}{\rho_{L}\gamma_{S}-\rho_{S}\gamma_{L}}
\]
\[ \bbox[#FFCCCC,10px]
{t>\frac{\rho_{S}-\rho_{L}}{\rho_{L}\gamma_{S}-\rho_{S}\gamma_{L}}}
\]
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