Exercício Resolvido de Dilatação
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Um recipiente de vidro contém uma massa m0 de mercúrio a uma temperatura t0 e uma massa m1, com m1 < m0, quando aquecido a uma temperatura t1, dado o coeficiente de dilatação volumétrica do mercúrio iguala a γHg determinar o coeficiente de dilatação volumétrica do vidro.


Dados do problema:
  • Massa inicial de mercúrio:    m0;
  • Massa final de mercúrio:    m1;
  • Temperatura inicial:    t0;
  • Temperatura final:    t1;
  • Coeficiente de dilatação volumétrica do mercúrio:    ΔHg.
Esquema do problema:

Inicialmente toda a massa m0 de mercúrio ocupa o volume V0R do recipiente, após o aquecimento a massa m1 de mercúrio contida no volume V1R do recipiente é menor, indicando que houve transbordamento de mercúrio (Figura 1). O mercúrio se dilatou mais que o recipiente de vidro que o contém.
Figura 1

Solução

A densidade de uma substância é dada por
\[ \bbox[#99CCFF,10px] {\mu =\frac{m}{V}} \]
a densidade do mercúrio contido no recipiente nas duas situações é dada por
\[ \begin{gather} \mu_{0}=\frac{m_{0}}{V_{0R}}\\[10pt] \mu_{1}=\frac{m_{1}}{V_{1R}} \end{gather} \]
onde μ0 e μ1 são as densidades do mercúrio nas temperaturas t0 e t1 respectivamente
\[ \begin{gather} m_{0}=\mu_{0}V_{0R}\\[10pt] m_{1}=\mu_{1}V_{1R} \end{gather} \]
dividindo a primeira equação pela segunda
\[ \begin{gather} \frac{m_{0}}{m_{1}}=\frac{\mu_{0}V_{0R}}{\mu_{1}V_{1R}} \tag{I} \end{gather} \]
A dilatação volumétrica é dada por
\[ \bbox[#99CCFF,10px] {V=V_{0}(1+\gamma \Delta t)} \]
Considerando apenas a dilatação do recipiente (Figura 2)
\[ \begin{gather} V_{1R}=V_{0R}(1+\gamma _{V}\Delta t) \tag{II} \end{gather} \]
onde \( \Delta t=t_{1}-t_{0} \).
Figura 2

Considerando a dilatação de todo o volume de mercúrio (incluindo a parte que transbordou – Figura 3)
\[ \begin{gather} V_{1Hg}=V_{0Hg}(1+\gamma _{Hg}\Delta t) \tag{III} \end{gather} \]
Figura 3

Usando novamente a expressão da densidade, aplicado à toda massa de mercúrio nas duas situações
\[ \begin{gather} \mu_{0}=\frac{m_{0}}{V_{0Hg}}\\[10pt] \mu_{1}=\frac{m_{0}}{V_{1Hg}} \end{gather} \]
de onde obtemos
\[ \begin{gather} V_{0Hg}=\frac{m_{0}}{\mu_{0}} \tag{IV-a}\\[10pt] V_{1Hg}=\frac{m_{0}}{\mu_{1}} \tag{IV-b} \end{gather} \]
substituindo as expressões (IV-a) e (IV-b) na expresão (III)
\[ \begin{gather} \frac{m_{0}}{\mu_{1}}=\frac{m_{0}}{\mu_{0}}(1+\gamma_{Hg}\Delta t)\\ \mu_{0}=\frac{\mu_{1}m_{0}}{m_{0}}(1+\gamma_{Hg}\Delta t) \tag{V} \end{gather} \]
substituindo as expressões (II) e (V) na expressão (I)
\[ \begin{gather} \frac{m_{0}}{m_{1}}=\frac{\frac{\mu_{1}m_{0}}{m_{0}}(1+\gamma_{Hg}\Delta t)V_{0R}}{\mu_{1}V_{0R}(1+\gamma_{V}\Delta t)}\\[5pt] \frac{m_{0}}{m_{1}}=\frac{\cancel{\mu_{1}}\cancel{m_{0}}(1+\gamma_{Hg}\Delta t)\cancel{V_{0R}}}{\cancel{m_{0}}\cancel{\mu_{1}}\cancel{V_{0R}}(1+\gamma_{V}\Delta t)}\\[5pt] \frac{m_{0}}{m_{1}}=\frac{(1+\gamma_{Hg}\Delta t)}{(1+\gamma_{V}\Delta t)}\\[5pt] m_{0}(1+\gamma_{V}\Delta t)=m_{1}(1+\gamma_{Hg}\Delta t)\\[5pt] m_{0}+m_{0}\gamma_{V}\Delta t=m_{1}(1+\gamma_{Hg}\Delta t)\\[5pt] m_{0}\gamma_{V}\Delta t=m_{1}(1+\gamma_{Hg}\Delta t)-m_{0}\\[5pt] \gamma_{V}=\frac{m_{1}(1+\gamma_{Hg}\Delta t)-m_{0}}{m_{0}\Delta t}\\[5pt] \gamma_{V}=\frac{m_{1}(1+\gamma_{Hg}\Delta t)}{m_{0}\Delta t}-\frac{\cancel{m_{0}}}{\cancel{m_{0}}\Delta t}\\[5pt] \gamma_{V}=\frac{m_{1}(1+\gamma_{Hg}\Delta t)}{m_{0}\Delta t}-\frac{1}{\Delta t}\\[5pt] \end{gather} \]
colocando \( \frac{1}{\Delta t} \) em evidência no lado direito da igualdade
\[ \bbox[#FFCCCC,10px] {\gamma_{V}=\left[\frac{m_{1}}{m_{0}}(1+\gamma_{Hg}\Delta t)-1\right]\frac{1}{\Delta t}} \]
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