Exercício Resolvido de Calorimetria
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Um rapaz comprou um anel onde dizia ter 9 gramas de ouro e 1 grama de cobre. Para comprovar a informação, o rapaz, um estudante de física, aqueceu o anel (que realmente tinha 10 gramas de massa) até 520 °C, que sabia ser inferior ao ponto de fusão dos dois metais. Colocou o anel em um calorímetro de capacidade térmica 20 cal/°C e que continha 80 gramas de água a 18 °C. O equilíbrio térmico se verificou a 20 °C. Supondo que na ligas os calores específicos sejam 0,09 cal/g°C para o cobre e 0,03 cal/g°C para o ouro, determine as massa de cobre e ouro existentes no anel.

Dados do problema:

  • Massa do anel: M = 10 g;
  • Temperatura inicial do anel: ta = 520 °C;
  • Calor específico do cobre: cCu = 0,09 cal/g°C;
  • Calor específico do ouro: cAu = 0,03 cal/g°C;
  • Capacidade térmica do calorímetro: C = 20 cal/°C;
  • Temperatura inicial di calorímetro: tc = 18 °C;
  • Massa de água: ma = 80 g;
  • Temperatura inicial da água: ta = 18 °C;
  • Temperatura de equilíbrio: teq = 20 °C;
  • Adotando o calor específico da água: ca = 1 cal/g°C.

Esquema do problema:

Figura 1
m(g) c(cal/g°C) ti(°C) teq(°C)
Calorímetro 20 cal/°C 18 20
Água 80 1 18 20
Anel 10 c 520 20
Tabela 1

onde c é o calor específico do anel.

Observação: Não conhecemos a massa e o calor específico do calorímetro, mas conhecemos sua capacidade térmica C, que é dada pelo produto da massa multiplicada pelo calor específico \( C=mc=20\;\mathrm{cal/g°C} \).

Solução:

Calores trocados em cada elemento:

  • Calorímetro:

Calor recebido pelo calorímetro, o calor sensível é dada por

\[ \begin{gather} \bbox[#99CCFF,10px] {Q=mc\left(t_{eq}-t_0\right)} \tag{I} \end{gather} \]

A capacidade térmica é dada por

\[ \begin{gather} \bbox[#99CCFF,10px] {C=mc} \tag{II} \end{gather} \]

substituindo a equação (II) na equação (I)

\[ \begin{gather} Q_c=C\left(t_{eq}-t_0\right) \\[5pt] Q_c=20\times(20-18) \\[5pt] Q_c=20\times 2 \\[5pt] Q_c=40\;\mathrm{cal} \end{gather} \]
  • Água:

Calor recebido pela água, aplicando a equação (I)

\[ \begin{gather} Q_a=80\times 1\times\left(20-18\right) \\[5pt] Q_a=80\times 2 \\[5pt] Q_a=160\;\mathrm{cal/g°C} \end{gather} \]
  • Anel:

Calor perdido pelo anel, aplicando a equação (I)

\[ \begin{gather} Q_{n}=10c\left(20-520\right) \\[5pt] Q_{n}=-500\times 10c \\[5pt] Q_{n}=-5000c \end{gather} \]

A somatória dos calores trocados é igual a zero

\[ \begin{gather} \sum Q=0 \\[5pt] Q_c+Q_a+Q_{n}=0 \\[5pt] 40+160-5000c=0 \\[5pt] 5000c=200 \\[5pt] c-\frac{200}{5000} \\[5pt] c=0,04\;\mathrm{cal/g°C} \end{gather} \tag{III} \]

Este é o calor específico da liga metálica de ouro e cobre. O calor específico da liga, em função dos calores específicos e das frações de massa de cada um dos metais que constituem a liga, é dado por

\[ \begin{gather} c=c_{\small{Au}}\frac{m_{\small{Au}}}{M}+c_{\small{Cu}}\frac{m_{\small{Cu}}}{M} \tag{IV} \end{gather} \]

onde M é a massa total da liga metálica

\[ \begin{gather} M=m_{\small{Au}}+m_{\small{Cu}} \end{gather} \]

substituindo a massa total dada no problema e escrendo a massa de ouro em função da massa de cobre

\[ \begin{gather} 10=m_{\small{Au}}+m_{\small{Cu}} \\[5pt] m_{\small{Au}}=10-m_{\small{Cu}} \tag{V} \end{gather} \]

substituindo o valor encontrado em (III), os dados do problema e a equação (V) na equação (IV)

\[ \begin{gather} 0,04=0,03\times\frac{(10-m_{\small{Cu}})}{10}+0,09\times\frac{m_{\small{Cu}}}{10} \end{gather} \]

multiplicando toda a equação por 10

\[ \begin{gather} \qquad\qquad 0,04=0,03\times\frac{(10-m_{\small{Cu}})}{10}+0,09\times\frac{m_{\small{Cu}}}{10}\qquad (\times10) \\[5pt] 0,04\times 10=0,03\times\frac{(10-m_{\small{Cu}})}{10}\times 10+0,09\times\frac{m_{\small{Cu}}}{10}\times 10 \\[5pt] 0,4=0,03\times(10-m_{\small{Cu}})+0,09m_{\small{Cu}} \\[5pt] 0,4=0,3-0,03m_{\small{Cu}}+0,09m_{\small{Cu}} \\[5pt] 0,06m_{\small{Cu}}=0,4-0,3 \\[5pt] 0,06m_{\small{Cu}}=0,1 \\[5pt] m_{\small{Cu}}=\frac{0,1}{0,06} \end{gather} \]
\[ \begin{gather} \bbox[#FFCCCC,10px] {m_{\small{Cu}}\approx 1,7\;\mathrm g} \end{gather} \]

substituindo este resultado na equação (V)

\[ \begin{gather} m_{\small{Au}}=10-1,7 \end{gather} \]
\[ \begin{gather} \bbox[#FFCCCC,10px] {m_{\small{Au}}\approx 8,3\;\mathrm g} \end{gather} \]
Observação: A equação (IV) é a Lei de Kopp ou regra de Neumann-Kopp para o cálculo do calor específico de uma liga metálica formada por dois elementos. Genericamente para n elementos em uma liga
\[ \begin{gather} \bbox[#99CCFF,10px] {c=\sum _{i=1}^{n}c_if_i\ \ \ ,\ \ \ f_i=\frac{m_i}{m}} \end{gather} \]
onde c é o calor específico da liga metálica, ci é o calor específico do i-ésimo elemento e fi é a fração de massa do i-ésimo elemento (massa do elemento na liga dividido pela massa total da amostra).
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