Exercício Resolvido de Calorimetria
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Em que proporção deve ser dividida certa massa M de água inicialmente a 20 °C, sob pressão normal, admitindo-se que todo calor retirado da parte que se congela seja usado para evaporar a outra parte? Dados:
Calor específico da água: 1 cal/g °C;
Calor latente de vaporização da água: 540 cal/g;
Calor latente de solidificação da água: −80 cal/g.

Dados do problema:

  • Temperatura inicial da água: ti = 20 °C;
  • Massa de água: M;
  • Calor específico da água: c = 1 cal/g °C;
  • Calor latente de vaporização da água: Lv = 540 cal/g;
  • Calor latente de solidificação da água: Ls = −80 cal/g.

Solução:

A massa total de água será a soma da parte que congela, mc, com a parte que evapora, mv

\[ \begin{gather} M=m_c+m_v \tag{I} \end{gather} \]

A parte da água que congela deve ser primeiro resfriada da temperatura inicial de 20 °C até 0 °C, deve ser retirada uma quantia de calor Q1 (Figura 1), a seguir, mantendo-se a temperatura constante, a água é congelada retirando-se uma quantia de calor Q2.

Figura 1

A quantidade de calor retirada no resfriamento é calculada pela equação do calor sensível

\[ \begin{gather} \bbox[#99CCFF,10px] {Q=mc\left(t_f-t_i\right)} \tag{II} \end{gather} \]

onde a temperatura final será tf = 0 °C

\[ \begin{gather} Q_1=m_cc\left(t_f-t_i\right) \\[5pt] Q_1=m_c\times 1\times\left(0-20\right) \\[5pt] Q_1=-20m_c \tag{III} \end{gather} \]

o sinal negativo indica que a água está perdendo calor.
A quantidade de calor retirada no congelamento é calculada pela equação do calor latente

\[ \begin{gather} \bbox[#99CCFF,10px] {Q=mL} \tag{IV} \end{gather} \]
\[ \begin{gather} Q_2=m_cL_{S} \\[5pt] Q_2=m_c\times(-80) \\[5pt] Q_2=-80m_c \tag{V} \end{gather} \]

A parte da água que evapora deve ser primeiro aquecida da temperatura inicial de 20 °C até 100 °C, deve ser fornecida uma quantia de calor Q3 (Figura 2), a seguir, mantendo-se a temperatura constante, a água é evaporada fornecendo-se uma quantia de calor Q4.

Figura 2

Usando a equação (II), com a temperatura final tf = 100 °C o calor fornecido para o aquecimento será

\[ \begin{gather} Q_3=m_vc\left(t_f-t_i\right) \\[5pt] Q_3=m_v\times 1\times\left(100-20\right) \\[5pt] Q_3=-80m_v \tag{VI} \end{gather} \]

A quantidade de calor fornecida para a evaporação é dada pela equação (IV)

\[ \begin{gather} Q_4=m_vL_v \\[5pt] Q_4=m_v\times 540 \\[5pt] Q_4=540m_v \tag{VII} \end{gather} \]

O problema nos diz que todo calor retirado da parte que esfria é usado para evaporar a outra parte, o sistema é isolado e só há troca de calor entre as duas partes de água, como o calor é energia em trânsito podemos usar a conservação da energia, “a somatória dos calores trocados é igual a zero num sistema termicamente isolado”

\[ \begin{gather} \bbox[#99CCFF,10px] {\sum Q=0} \end{gather} \]
\[ \begin{gather} Q_1+Q_2+Q_3+Q_4=0 \\[5pt] -20m_c-80m_c+80m_v+540m_v=0 \\[5pt] -100m_c+620m_v=0 \tag{VIII} \end{gather} \]

Usando a equação (I)

\[ \begin{gather} m_c=M-m_v \tag{IX} \end{gather} \]

substituindo a equação (IX) na equação (VIII)

\[ \begin{gather} -100\left(M-m_v\right)+620m_v=0 \\[5pt] -100M+100m_v+620m_v=0 \\[5pt] -100M+720m_v=0 \\[5pt] 720m_v=100M \\[5pt] m_v=\frac{100}{720}M \end{gather} \]
\[ \begin{gather} \bbox[#FFCCCC,10px] {m_v=0,139M} \end{gather} \]

Substituindo este valor na equação (IX)

\[ \begin{gather} m_c=M-0,139M \end{gather} \]
\[ \begin{gather} \bbox[#FFCCCC,10px] {m_c=0,861M} \end{gather} \]
Observação: Da equação (VIII) também poderíamos escrever
\[ \begin{gather} 620m_v=100m_c \\[5pt] \frac{m_v}{m_c}=\frac{100}{620} \\[5pt] \frac{m_v}{m_c}=\frac{5}{31} \end{gather} \]
Este resultado significa que para cada 5 partes de água que evapora temos 31 partes de água que congela.
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