Exercício Resolvido de Pêndulos
publicidade
Um pêndulo simples oscila com período T, um prego é colocado de modo que à direita ele oscila com
o fio com comprimento total e a esquerda oscila com o fio com um comprimento reduzido devido ao prego.
Calcular o período do pêndulo assim obtido.
Dados do problema:
- Período do pêndulo inicial: T;
- Comprimento do fio do pêndulo inicial: L = 40 cm.
Solução:
O período de um pêndulo simples é dado por
\[
\begin{gather}
\bbox[#99CCFF,10px]
{T=2\pi\sqrt{\frac{L}{g}\;}} \tag{I}
\end{gather}
\]
O pêndulo oscila originalmente, sem o prego (Figura 1), com período dado pela equação (I)
\[
\begin{gather}
T=2\pi\sqrt{\frac{40}{g}\;} \tag{II}
\end{gather}
\]
Quando o prego é colocado o comprimento do fio é reduzido de 30 cm, assim o novo comprimento
(Lr) será
\[
\begin{gather}
L_r=L-30 \\[5pt]
L_r=40-30 \\[5pt]
L_r=10\;\mathrm{cm}
\end{gather}
\]
Se esse pêndulo com fio reduzido oscilasse apenas preso pelo prego (Figura 2) o seu período seria, pela
equação (I)
\[
\begin{gather}
T_r=2\pi\sqrt{\frac{10}{g}\;} \tag{III}
\end{gather}
\]
O sistema oscila na metade direita com metade do período dado pela equação (II) e na metade esquerda
com metade do período dado pela equação (III), assim temos os novos períodos (Figura 3)
\[
\begin{gather}
T_1=\frac{T}{2} \tag{IV}
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
T_2=\frac{T_r}{2} \\[5pt]
T_2=\frac{2\pi\sqrt{\dfrac{10}{g}\;}}{2}
\end{gather}
\]
multiplicando e dividindo o numerador por 2
\[
\begin{gather}
T_2=\frac{2\pi\sqrt{\dfrac{10}{g}\;}\times\dfrac{2}{2}}{2} \\[5pt]
T_2=2\pi\sqrt{\frac{10\times 2^2}{g}\;}\times\frac{1}{2}\times\frac{1}{2} \\[5pt]
T_2=2\pi\sqrt{\frac{10\times 4}{g}\;}\times\frac{1}{4} \\[5pt]
T_2=2\pi\sqrt{\frac{40}{g}\;}\times\frac{1}{4} \\[5pt]
T_2=T\frac{1}{4} \\[5pt]
T_2=\frac{T}{4} \tag{V}
\end{gather}
\]
Assim o período de oscilação do sistema (Ts) será dado pela soma das equações (IV) e (V)
\[
\begin{gather}
T_s=T_1+T_2 \\[5pt]
T_s=\frac{T}{2}+\frac{T}{4}
\end{gather}
\]
multiplicando por 2 o numerador e o denominador da primeira fração do lado direito da igualdade
\[
\begin{gather}
T_s=\frac{T}{2}\times\frac{2}{2}+\frac{T}{4} \\[5pt]
T_s=\frac{2T+T}{4}
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
\bbox[#FFCCCC,10px]
{T_s=\frac{3}{4}T}
\end{gather}
\]
publicidade