Os períodos de oscilações de dois pêndulos de comprimentos respectivamente L1 e
L2 diferem entre si de
\( \dfrac{1}{n} \)
do valor do período do pêndulo de comprimento L1. Determinar o comprimento
L2 em função de L1 e n.
Dados do problema:
- Comprimento do pêndulo 1: L1;
- Comprimento do pêndulo 2: L2;
- Diferença entre os períodos dos pêndulos: \( \dfrac{1}{n} T_1 \).
Solução:
O período de oscilação de um pêndulo é dado por
\[
\begin{gather}
\bbox[#99CCFF,10px]
{T=2\pi\sqrt{\frac{L}{g}\;}}
\end{gather}
\]
onde g é a aceleração da gravidade, então os períodos dos pêndulos 1 e 2 serão dados por
\[
\begin{gather}
T_1=2\pi\sqrt{\frac{L_1}{g}\;}
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
T_2=2\pi\sqrt{\frac{L_2}{g}\;}
\end{gather}
\]
Usando a condição dada no problema de que a diferença entre os períodos será de
\( \frac{1}{n}T_1 \)
\[
\begin{gather}
T_2-T_1=\frac{1}{n}T_1 \\[5pt]
T_2=T_1+\frac{1}{n}T_1 \\[5pt]
T_2=T_1\left(1+\frac{1}{n}\right)
\end{gather}
\]
substituindo as equações do período para cada período
\[
\begin{gather}
\cancel{2\pi}\sqrt{\frac{L_2}{g}\;}=\cancel{2\pi}\sqrt{\frac{L_1}{g}\;}\left(1+\frac{1}{n}\right)
\end{gather}
\]
elevando ao quadrado os dois lados da equação
\[
\begin{gather}
\left[\sqrt{\frac{L_2}{g}\;}\right]^2=\left[\sqrt{\frac{L_1}{g}\;}\,\left(1+\frac{1}{n}\right)\right]^2 \\[5pt]
\frac{L_2}{\cancel g}=\frac{L_1}{\cancel g}\left(1+\frac{1}{n}\right)^2
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
\bbox[#FFCCCC,10px]
{L_2=L_1\,\left(\,1+\frac{1}{n}\,\right)^2}
\end{gather}
\]