Exercício Resolvido de Acústica
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Os sons audíveis pelo ouvido humano resultam de movimentos vibratórios cujas frequências são compreendidas entre 16 Hz e 20000 Hz. Sabendo-se que a 20 °C a velocidade de propagação do som na água é 1450 m/s e no ar 344 m/s. Calcular:
a) Os comprimentos de onda correspondentes às frequências máxima e mínima no ar e na água;
b) A relação entre os comprimentos de onda na água e no ar.


Dados do problema:
  • Frequência mínima audível:    fmín = 16 Hz;
  • Frequência máxima audível:    fmáx = 20000 Hz;
  • Velocidade do som na água 20 °C:    vág = 1450 m/s;
  • Velocidade do som no ar a 20 °C:    var = 344 m/s;
  • Temperatura ambiente:    T = 20 °C.
Solução

a) Usamos a expressão para a velocidade do som em função da frequência e do comprimento de onda
\[ \begin{gather} \bbox[#99CCFF,10px] {v=\lambda f} \end{gather} \]
para comprimento de onda escrevemos
\[ \begin{gather} \lambda =\frac{v}{f} \end{gather} \]
Para o ar:
  • Comprimento de onda máximo (quando a frequência é mínima)
\[ \begin{gather} \lambda_{ar max}=\frac{344}{16} \end{gather} \]
\[ \begin{gather} \bbox[#FFCCCC,10px] {\lambda_{ar max}=21,5\;\text{m}} \end{gather} \]
  • Comprimento de onda mínimo (quando a frequência é máxima)
\[ \begin{gather} \lambda_{ar min}=\frac{344}{20000} \end{gather} \]
\[ \begin{gather} \bbox[#FFCCCC,10px] {\lambda_{ar min}=0,0172\;\text{m}} \end{gather} \]
Para a água:
  • Comprimento de onda máximo (quando a frequência é mínima)
\[ \begin{gather} \lambda_{ag max}=\frac{1450}{16} \end{gather} \]
\[ \begin{gather} \bbox[#FFCCCC,10px] {\lambda_{ag max}=90,625\;\text{m}} \end{gather} \]
  • Comprimento de onda mínimo (quando a frequência é máxima)
\[ \begin{gather} \lambda_{ag min}=\frac{1450}{20000} \end{gather} \]
\[ \begin{gather} \bbox[#FFCCCC,10px] {\lambda_{ag min}=0,0725\;\text{m}} \end{gather} \]

b) Usando os comprimentos de onda máximo da água e do ar a relação será
\[ \begin{gather} \frac{\lambda_{ag max}}{\lambda_{ar max}}=\frac{90,625}{21,5} \end{gather} \]
\[ \begin{gather} \bbox[#FFCCCC,10px] {\frac{\lambda_{ag max}}{\lambda_{ar max}}=4,2} \end{gather} \]

Observação: Se fossem usados os comprimentos de onda mínimo o resultado seria o mesmo.
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