Exercício Resolvido de Acústica
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Os sons audíveis pelo ouvido humano resultam de movimentos vibratórios cujas frequências são compreendidas entre 16 Hz e 20000 Hz. Sabendo-se que a 20 °C a velocidade de propagação do som na água é 1450 m/s e no ar 344 m/s. Calcular:
a) Os comprimentos de onda correspondentes às frequências máxima e mínima no ar e na água;
b) A relação entre os comprimentos de onda na água e no ar.

Dados do problema:

  • Frequência mínima audível: fmín = 16 Hz;
  • Frequência máxima audível: fmáx = 20000 Hz;
  • Velocidade do som na água 20 °C: vág = 1450 m/s;
  • Velocidade do som no ar a 20 °C: var = 344 m/s;
  • Temperatura ambiente: T = 20 °C.

Solução:

a) Usamos a equação para a velocidade do som em função da frequência e do comprimento de onda

\[ \begin{gather} \bbox[#99CCFF,10px] {v=\lambda f} \end{gather} \]

para comprimento de onda escrevemos

\[ \begin{gather} \lambda =\frac{v}{f} \end{gather} \]

Para o ar:

  • Comprimento de onda máximo (quando a frequência é mínima)
\[ \begin{gather} \lambda_{ar_{max}}=\frac{344}{16} \end{gather} \]
\[ \begin{gather} \bbox[#FFCCCC,10px] {\lambda_{ar_{max}}=21,5\;\mathrm m} \end{gather} \]
  • Comprimento de onda mínimo (quando a frequência é máxima)
\[ \begin{gather} \lambda_{ar_{min}}=\frac{344}{20000} \end{gather} \]
\[ \begin{gather} \bbox[#FFCCCC,10px] {\lambda_{ar_{min}}=0,0172\;\mathrm m} \end{gather} \]

Para a água:

  • Comprimento de onda máximo (quando a frequência é mínima)
\[ \begin{gather} \lambda_{ag_{max}}=\frac{1450}{16} \end{gather} \]
\[ \begin{gather} \bbox[#FFCCCC,10px] {\lambda_{ag_{max}}=90,625\;\mathrm m} \end{gather} \]
  • Comprimento de onda mínimo (quando a frequência é máxima)
\[ \begin{gather} \lambda_{ag_{min}}=\frac{1450}{20000} \end{gather} \]
\[ \begin{gather} \bbox[#FFCCCC,10px] {\lambda_{ag_{min}}=0,0725\;\mathrm m} \end{gather} \]

b) Usando os comprimentos de onda máximo da água e do ar a relação será

\[ \begin{gather} \frac{\lambda_{ag_{max}}}{\lambda_{ar_{max}}}=\frac{90,625}{21,5} \end{gather} \]
\[ \begin{gather} \bbox[#FFCCCC,10px] {\frac{\lambda_{ag_{max}}}{\lambda_{ar_{max}}}=4,2} \end{gather} \]
Observação: Se fossem usados os comprimentos de onda mínimo o resultado seria o mesmo.
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