Exercício Resolvido de Prismas

Dois prismas idênticos retangulares ABC e A'B'C', retos em C e C', com ângulos A e A' iguais a α e índice de refração n, são dispostos de tal modo que um raio luminoso que incide normalmente sobre a face AC do primeiro prisma sai normalmente pela face A'C' do segundo. Determine o desvio total do raio luminoso.

Dados do problema:

Índice de refração do prisma: n_pr = n;
adotando-se o meio externo como sendo o ar, índice de refração do ar: n_ar = 1.

Construção do caminho do raio de luminoso:

Como o raio luminoso atinge a face AC do prisma perpendicularmente (forma um ângulo de 90°) ele atravessa esta face sem sofrer desvio. Traçando uma normal à face AB, o raio atinge esta face formando um ângulo î₁ e é refratado de volta para o ar formando um ângulo \( {\hat r}_1 \) com a normal. O ângulo entre o raio luminoso e a face AB do prisma é \( \hat{\beta} \), como a soma dos ângulos internos de um triângulo é igual a 180° devemos ter (Figura 1-A)

\[ \begin{gather} \hat{\alpha}+\hat{\beta}+90°=180° \\[5pt] \hat{\beta}=180°-\hat{\alpha}-90° \\[5pt] \hat{\beta}=90°-\hat{\alpha} \end{gather} \]

Como a soma dos ângulos \( \hat{\alpha} \) e \( \hat{\beta} \) é o ângulo entre a face AB e a reta normal (Figura 1-B)

\[ \begin{gather} {\hat i}_1+\hat{\beta}=90° \\[5pt] {\hat i}_1=90°-\hat{\beta} \\[5pt] {\hat i}_1=90°-(90°-\hat{\alpha}) \\[5pt] {\hat i}_1=90°-90°+\hat{\alpha} \\[5pt] {\hat i}_1=\hat{\alpha} \end{gather} \]

Figura 1

Prolongando o raio luminoso que atravessa o prisma para fora ele divide o ângulo de refração em duas partes. O ângulo entre a normal e o prolongamento será \( \hat{\alpha} \) (este ângulo é oposto ao ângulo \( \hat{\alpha} \) dentro do prisma), o ângulo entre o prolongamento e o raio refratado será \( \hat{\gamma} \) (Figura 1-C). Das Figuras 1-B e 1-C

\[ \begin{gather} {\hat r}_1=\hat{\alpha}+\hat{\gamma} \\[5pt] \hat{\gamma}={\hat r}_1-\hat{\alpha} \tag{I} \end{gather} \]

O raio luminoso que sai do primeiro prisma incide na face A'B' do segundo prisma formando um ângulo î₂ de tal modo que, ao ser refratado para o interior do prisma com ângulo \( {\hat r}_2 \) saia pela face A'C' perpendicularmente (Figura 2).

Figura 2

Como os dois prismas são semelhantes o ângulo \( \hat{\beta} \) também vale \( 90°-\hat{\alpha} \), o ângulo de refração \( {\hat r}_2 \) será igual ao ângulo de incidência î₁ do primeiro prisma, e valerá \( \hat{\alpha} \), e o ângulo de incidência î₂ é igual ao ângulo de refração \( {\hat r}_1 \), e portanto, \( \hat{\gamma}={\hat r}_1-\hat{\alpha} \) (Figura 3).

Figura 3

Prolongando os dois raios luminosos (o raio que sai do primeiro prisma e o raio que incide no segundo) até que se encontrem temos o ângulo Δ que dá o desvio total (Figura 4).

Figura 4

Solução:

O ângulo de desvio será dado por

\[ \begin{gather} \Delta =\hat{\gamma}+\hat{\gamma} \\[5pt] \Delta=2\hat{\gamma} \tag{II} \end{gather} \]

Substituindo a equação (I) na equação (II)

\[ \begin{gather} \Delta =2({\hat r}_1-\hat{\alpha }) \tag{III} \end{gather} \]

Aplicando a Lei de Snell-Descartes ao primeiro prisma

\[ \begin{gather} \bbox[#99CCFF,10px] {n_1\operatorname{sen}\theta_1=n_2\operatorname{sen}\theta_2} \end{gather} \]

\[ \begin{gather} n_{pr}\operatorname{sen}\hat i_1=n_{ar}\operatorname{sen}{\hat r}_1 \\[5pt] n\operatorname{sen}\hat{\alpha}=1\times\operatorname{sen}{\hat r}_1 \\[5pt] \operatorname{sen}{\hat r}_1=n\operatorname{sen}\hat{\alpha} \\[5pt] {\hat r}_1=\operatorname{arc sen}(n\operatorname{sen}\hat{\alpha }) \tag{IV} \end{gather} \]

substituindo a equação (IV) na equação (III)

\[ \begin{gather} \bbox[#FFCCCC,10px] {\Delta =2[\operatorname{arc sen}(n\operatorname{sen}\alpha)-\hat{\alpha}]} \end{gather} \]