Exercício Resolvido de Prismas
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Um prisma de vidro de índice de refração \( \sqrt{2\;} \) tem por seção principal um triângulo retângulo isósceles ABC e tem por base a hipotenusa BC suposta horizontal. Contra a face AB é aplicada uma cuba igualmente prismática ABD cuja face BD é vertical e que contém um líquido de índice de refração \( \sqrt{3\;} \). Um raio de luz monocromática LI atinge normalmente a face BD e penetra na cuba. Verificar:
a) Se este raio penetrará no prisma de vidro;
b) Em caso afirmativo, por que face sairá;
c) Que ângulo o raio emergente final do prisma fará com o raio incidente LI.

Dados do problema:

  • Índice de refração do prisma: \( n_{P}=\sqrt{2\;} \);
  • Índice de refração do líquido: \( n_{L}=\sqrt{3\;} \);
  • Adotando que todo o sistema está imerso no ar, o índice de refração do ar é nA = 1.

Solução:

a) O prisma possui a forma de um triângulo retângulo isósceles com hipotenusa BC, como o triângulo é retângulo, o ângulo \( B\hat{A}C \) (oposto a hipotenusa) é reto (90°) e como é isósceles (possui dois lados congruentes) os lados AC e AB são iguais, então os ângulos \( A\hat B C \) e \( A\hat{C}B \) devem ser iguais, como os ângulos internos de um triângulo devem somar 180°, então estes ângulos medem 45° cada. A face BD da cuba é vertical, então o ângulo \( A\hat B D \) mede 45° (Figura 1).

Figura 1

O raio de luz LI penetra na cuba perpendicularmente à face BD ele não sofre desvio e atinge a face AB do prisma no ponto P, traçando uma reta normal a face AB no ponto P temos que o ângulo \( I\hat P B \) mede 45°, este ângulo e o ângulo de incidência (î1) são complementares (somam 90°)

\[ \begin{gather} {\hat i}_1=45° \end{gather} \]

O índice de refração do líquido é maior que o prisma (nL > nP), o raio pode penetrar no prisma (sofrer refração) ou ser desviado de volta para cuba (reflexão total), o ângulo limite (λ) para que ocorra reflexão total será dado por

\[ \begin{gather} \operatorname{sen}\lambda=\frac{n_{L}}{n_{P}}=\frac{\sqrt{2\;}}{\sqrt{3\;}}=\sqrt{\frac{2}{3}} \\[5pt] \lambda=\operatorname{arc sen}\left(\frac{2}{3}\right)\simeq 54° \end{gather} \]

A condição para que ocorra reflexão total é que o ângulo de incidência seja maior que o ângulo limite

\[ \begin{gather} {\hat i}_1>\lambda \end{gather} \]

mas no caso temos que o ângulo de incidência é menor que o ângulo limite 45º < 54º então o raio de luz penetrará no prisma.

b) O raio de luz é refratado para dentro do prisma, para encontrarmos o ângulo (\( {\hat r}_1 \)) que ele forma com a normal à face AB aplicamos a Lei de Snell-Descartes (Figura 2)

\[ \begin{gather} \bbox[#99CCFF,10px] {n_1\operatorname{sen}\theta_1=n_2\operatorname{sen}\theta_2} \end{gather} \]
Figura 2
\[ \begin{gather} n_{L}\operatorname{sen}{\hat i}_1=n_{P}\operatorname{sen}{\hat r}_1 \\[5pt] \sqrt{3\;}\operatorname{sen}45°=\sqrt{2\;}\operatorname{sen}{\hat r}_1 \end{gather} \]
Da Trigonometria \( \operatorname{sen}45°=\dfrac{\sqrt{2\;}}{2} \)
\[ \begin{gather} \sqrt{3\;}\frac{\sqrt{2\;}}{2}=\sqrt{2\;}\operatorname{sen}{\hat r}_1 \\[5pt] \operatorname{sen}{\hat r}_1=\sqrt{3\;}\frac{\sqrt{2\;}}{2\sqrt{2\;}} \\[5pt] \operatorname{sen}{\hat r}_1=\frac{\sqrt{3\;}}{2} \\[5pt] {\hat r}_1=\operatorname{arc sen}\left(\frac{\sqrt{3\;}}{2}\right) \\[5pt] {\hat r}_1=60° \end{gather} \]

O ângulo \( {\hat r}_1 \) e o ângulo \( A\hat P P' \) são complementares, então com o valor de \( {\hat r}_1 \) encontrado acima temos que \( A\hat P P'=30° \). O raio atravessa o prisma e atinge a face AC no ponto P’, neste ponto traçamos a normal a face AC, o triângulo ΔAPP’ é reto em A, como a soma dos ângulos internos deve ser 180°, temos que o ângulo \( A\hat P 'P=60° \) (Figura 3).
O ângulo que o raio de luz forma com a normal neste ponto é \( {\hat r}_2 \), este ângulo e o ângulo \( A\hat P 'P \) são complementares, então \( {\hat r}_2=30° \). Aplicando novamente a Lei de Snell-Descartes encontramos o ângulo î2 com que o raio de luz emerge na face AC.

Figura 3
\[ \begin{gather} n_{P}\operatorname{sen}{\hat r}_2=n_{A}\operatorname{sen}{\hat i}_2 \\[5pt] \sqrt{2\;}\operatorname{sen}30°=1\times\operatorname{sen}{\hat i}_2 \end{gather} \]
Da Trigonometria \( \operatorname{sen}30°=\dfrac{1}{2} \)
\[ \begin{gather} \sqrt{2\;}\frac{1}{2}=\operatorname{sen}{\hat i}_2 \\[5pt] \operatorname{sen}{\hat i}_2=\frac{\sqrt{2\;}}{2} \\[5pt] {\hat i}_2=\operatorname{arc sen}\left(\frac{\sqrt{2\;}}{2}\right) \\[5pt] {\hat i}_2=45° \end{gather} \]

O raio de luz sai pela face AC formando um ângulo de 45º com a normal.

c) O ângulo que o raio emergente faz com o raio incidente é o desvio total (Δ) que é dado por

\[ \begin{gather} \bbox[#99CCFF,10px] {\delta={\hat i}_1+{\hat i}_2-\hat{A}} \tag{I} \end{gather} \]

onde  é o ângulo de refringência do prisma dado por

\[ \begin{gather} \hat{A}={\hat r}_1+{\hat r}_2 \tag{II} \end{gather} \]

substituindo a equação (II) na equação (I), temos para o desvio

\[ \begin{gather} \delta={\hat i}_1+{\hat i}_2-({\hat r}_1+{\hat r}_2) \end{gather} \]

substituindo os valores encontrados para î1, î2, \( {\hat r}_1 \) e \( {\hat r}_2 \)

\[ \begin{gather} \delta=45°+45°-(60°+30°) \end{gather} \]
\[ \begin{gather} \bbox[#FFCCCC,10px] {\delta=0°} \end{gather} \]
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