Um prisma isósceles, de ângulo 120° e índice de refração \( \sqrt{3\;} \), tem sua base BC espelhada. Um raio luminoso, contido num plano de seção reta do prisma, paralelo à base e distando desta d, incide sobre a face AB.
a) Esboce o caminho do raio no interior do prisma e depois de emergir deste.
b) Qual é o ângulo de incidência do raio luminoso sobre a face espelhada?

Dados do problema:

• Supondo que o prisma está imerso no ar, índice de refração do ar: n₁ = 1;
• Índice de refração do prisma: \( n_2=\sqrt{3\;} \);

Solução:

a) Construção do caminho do raio de luminoso:

O raio de luz incide sobre a face AB do prisma, no ponto de incidência do raio traçamos uma linha normal a esta face (N). O ângulo do raio incidente à face AB (\( {\hat{\alpha}}_1 \)) e o ângulo \( A\hat B C \) do prisma são alternos internos, temos que \( {\hat{\alpha}}_1=30° \). Como o ângulo \( {\hat{\alpha}}_1 \) e o ângulo incidente î₁ são complementares (somam 90º) temos que î₁ = 60º (Figura 1).

Figura 1

Para sabermos o ângulo que o raio luminoso faz com a normal ao refratar para o interior do prisma devemos usar a Lei de Snell-Descartes

substituindo os dados

O ângulo entre o raio refratado e a normal N₁ é de 30°, o raio luminoso passa do meio menos refringente para o mais refringente e se aproxima da normal (Figura 2).

Figura 2

O raio incide no espelho na base do prisma e reflete, traçando a normal (N₂) ao espelho temos os ângulos de incidência (î) e de reflexão (\( \hat r \)), para determinarmos esses ângulos vamos ampliar a região em vermelho (Figura 3).

Figura 3

No triângulo ΔOBM conhecemos dois ângulos, \( O\hat B M=30° \) e \( B\hat O M=90° \), como a soma dos ângulos internos de um triângulo é igual a 180° temos que o ângulo \( {\hat{\alpha}}_2=60° \). Os ângulos \( {\hat{\alpha}}_2 \) e \( {\hat{\beta}}_2 \) são suplementares (a soma deles é 180°), então temos que \( {\hat{\beta}}_2=120° \). No triângulo ΔOMP ficam conhecidos então dois ângulos, \( M\hat O P=30° \) e \( {\hat{\beta}}_2=120° \), novamente a soma dos ângulos internos do triângulo é 180° então temos que o ângulo \( O\hat P M=30° \). Como os ângulos \( O\hat P M \) e î são complementares, obtemos que o ângulo de incidência î = 60°, como na reflexão especular os ângulos de incidência e reflexão são iguais \( \hat r \) também vale 60° (Figura 4).

Figura 4

Aplicando-se o mesmo raciocínio aos triângulos ΔRQP e ΔRCQ, temos que o ângulo \( R\hat{C}Q=30° \) e o ângulo \( C\hat{R}Q=90° \) e pela soma dos ângulo internos do triângulo o ângulo \( {\hat{\beta}}_3=60° \). Os ângulos \( {\hat{\alpha}}_3 \) e \( {\hat{\beta}}_3 \) são suplementares, portanto \( {\hat{\alpha}}_3=120° \). O ângulo \( \hat r \) encontrado acima vale 60º, como \( \hat r \) e \( R\hat P Q \) são complementares então \( R\hat P Q=30° \). No triângulo ΔRQP ficam conhecidos dois ângulos \( R\hat P Q=30° \) e \( {\hat{\alpha}}_3=120° \), para que a soma dos ângulos internos do triângulo seja 180º devemos ter \( Q\hat{R}P=30° \). Então o ângulo com que o raio de luz incide na face AC do lado interno do prisma será \( Q\hat{R}P={\hat i}_2=30° \) (Figura 5).

Figura 5

Finalmente obtemos o ângulo com que o raio luminoso emerge do prisma pela aplicando novamente a Lei de Snell-Descartes

substituindo os dados

O caminho do raio será como indicado na Figura 6

Figura 6

b) O ângulo de incidência no espelho será î = 60º.