Exercício Resolvido de Instrumentos Ópticos
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Em um microscópio composto a distância focal da objetiva é de 2 mm e a da ocular 10 mm. O comprimento do tubo que sustenta as lentes vale 18 cm. A imagem final do sistema forma-se a 50 cm da ocular. Determine:
a) O aumento linear transversal da objetiva e da ocular;
b) O aumento linear transversal do microscópio;

Dados do problema:

  • Distância focal da objetiva: f1 = 2 mm;
  • Distância focal da ocular: f2 = 10 mm;
  • Distância da imagem à ocular: p'2 = −50 cm;
  • Distância entre as lentes: d = 18 cm.

Construção da imagem:

Usando as propriedade de que todo raio que incide em uma direção que passe pelo centro óptico da lente não sofre desvio (Figura 1), vemos um raio de luz que passa pelo centro óptico da objetiva O1

Figura 1

Usando a propriedade de que todo raio que incide paralelamente ao eixo principal, emerge passando pelo foco principal imagem F', temos um segundo raio de luz paralelo sai pelo foco F'1. Do cruzamento dos dois raios temos o ponto onde se forma a imagem i1 da objetiva (Figura 2).

Figura 2

A imagem i1 da objetiva passa a ser objeto o2 para a ocular, \( i_{1}\equiv o_{2} \). Novamente um raio que passa pelo centro óptico, agora da ocular, O2, não sofre desvio (Figura 3).

Figura 3

De novo um raio paralelo sai pelo foco imagem, agora da ocular F'2 (Figura 4).

Figura 4

Estes dois raios não determinam uma imagem do lado do observador. Para determinar a imagem é necessário prolongar estes raios para o lado do objeto o2, do cruzamento deles temos a imagem i2 aumentada (Figura 5).

Figura 5

Esquema do problema:

Figura 6

Adotamos um Referencial de Gauss, do lado da luz incidente temos a abscissa positiva para o objeto real, p > 0, e negativa para a imagem virtual, p' < 0, do lado oposto temos a abscissa do objeto virtual negativa, p < 0, e positiva para a imagem real, p' > 0.
A imagem i1 possui abscissa positiva, está atrás da lente objetiva p'1 > 0, imagem real), ela é também objeto para a lente ocular, como está na frente da lente possui abscissa positiva, p2 > 0, objeto real), a imagem i2 está na frente da lente ocular, é uma imagem virtual e possui abscissa negativa p'2 < 0.

Solução:

a) Em primeiro lugar vamos converter todas as unidades para centímetros (cm)

\[ \begin{gather} f_{1}=2\;\text{mm}=2.10^{-1}\;\text{cm}=0,2\;\text{cm}\\[10pt] f_{2}=10\;\text{mm}=10.10^{-1}\;\text{cm}=1\;\text{cm} \end{gather} \]

Para encontrar p2 usamos a Equação dos Pontos Conjugados

\[ \begin{gather} \bbox[#99CCFF,10px] {\frac{1}{f}=\frac{1}{p}+\frac{1}{p'}} \end{gather} \]

aplicando à segunda lente (ocular)

\[ \begin{gather} \frac{1}{f_{2}}=\frac{1}{p_{2}}+\frac{1}{p'_{2}}\\[5pt] \frac{1}{p_{2}}=\frac{1}{f_{2}}-\frac{1}{p'_{2}}\\[5pt] \frac{1}{p_{2}}=\frac{1}{1}-\frac{1}{(-50)}\\[5pt] \frac{1}{p_{2}}=1+\frac{1}{50} \end{gather} \]

multiplicando e dividindo por 50 o primeiro termo do lado direito da equação

\[ \begin{gather} \frac{1}{p_{2}}=\frac{50}{50}.1+\frac{1}{50}\\[5pt] \frac{1}{p_{2}}=\frac{50+1}{50}\\[5pt] \frac{1}{p_{2}}=\frac{51}{50}\\[5pt] p_{2}=\frac{50}{51} \tag{I}\\[5pt] p_{2}=0,98\;\text{cm} \end{gather} \]

o aumento da ocular Aoc é dado por

\[ \begin{gather} \bbox[#99CCFF,10px] {A_{oc}=\frac{i_{2}}{o_{2}}=-{\frac{p'_{2}}{p_{2}}}} \end{gather} \]

usando para p2 o valor dado por (I)

\[ \begin{gather} A_{oc}=-{\frac{(-50)}{\dfrac{50}{51}}}\\[5pt] A_{oc}=\cancel{50}.\frac{51}{\cancel{50}} \end{gather} \]
\[ \begin{gather} \bbox[#FFCCCC,10px] {A_{oc}=51} \end{gather} \]

O comprimento do tubo será a soma da distância da objetiva à imagem, \( i_{1}\equiv o_{2} \), p'1, com a distância do objeto \( i_{1}\equiv o_{2} \) à ocular, p2 (Figura 6).

\[ \begin{gather} d=p'_{1}+p_{2}\\[5pt] 18=p'_{1}+0,98\\[5pt] p'_{1}=18-0,98\\[5pt] p'_{1}=17,02\;\text{cm} \end{gather} \]

Aplicando a Equação dos Pontos Conjugados encontramos a distância do objeto i1 à objetiva

\[ \begin{gather} \frac{1}{f_{1}}=\frac{1}{p_{1}}+\frac{1}{p'_{1}}\\[5pt] \frac{1}{p_{1}}=\frac{1}{f_{1}}-\frac{1}{p'_{1}}\\[5pt] \frac{1}{p_{1}}=\frac{1}{0,2}-\frac{1}{17,02} \end{gather} \]

escrevendo \( 0,2=\frac{2}{10} \) e \( 17,02=\frac{1702}{100} \)

\[ \begin{gather} \frac{1}{p_{1}}=\frac{1}{\dfrac{2}{10}}+\frac{1}{\dfrac{1702}{100}}\\[5pt] \frac{1}{p_{1}}=\frac{10}{2}+\frac{100}{1702} \end{gather} \]

multiplicando e dividindo por 851 o primeiro termo do lado direito da equação

\[ \begin{gather} \frac{1}{p_{1}}=\frac{8510-100}{1702}\\[5pt] \frac{1}{p_{1}}=\frac{8410}{1702}\\[5pt] p_{1}=\frac{1702}{8410} \tag{II}\\[5pt] p_{1}\approx 0,2\;\text{cm} \end{gather} \]

o aumento da objetiva Aob é dado por

\[ \begin{gather} \bbox[#99CCFF,10px] {A_{ob}=\frac{i_{1}}{o_{1}}=-{\frac{p'_{1}}{p_{1}}}} \end{gather} \]

usando para p1 o valor dado por (II)

\[ \begin{gather} A_{ob}=-{\frac{\dfrac{1702}{100}}{\dfrac{1702}{8410}}}\\[5pt] A_{ob}=-{\frac{\cancel{1702}}{100}.\frac{8410}{\cancel{1702}}}\\[5pt] A_{ob}=-{\frac{8410}{100}} \end{gather} \]
\[ \begin{gather} \bbox[#FFCCCC,10px] {A_{ob}=-84,1} \end{gather} \]

b) O aumento do microscópio será

\[ \begin{gather} A=A_{ob}.A_{oc}\\[5pt] A=(-84,1).51 \end{gather} \]
\[ \begin{gather} \bbox[#FFCCCC,10px] {A=-4289,1} \end{gather} \]
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