Dois espelhos esféricos côncavos de raios de curvatura 1 m e 1,5 m são dispostos de maneira que seus eixos
principais coincidam e as suas superfícies refletoras, distantes 3 m uma da outra, se defrontem. Calcular a
que distância do primeiro espelho, entre ambos, deve ser colocado um objeto luminoso, normalmente ao eixo
comum, para que as duas imagens deste objeto tenham a mesma altura.
Dados do problema:
- Raio de curvatura do espelho 1: R1 = 1 m;
- Raio de curvatura do espelho 2: R2 = 1,5 m;
- Distância entre os espelhos: d = 3 m.
Esquema do problema:
Queremos encontrar a distância p1 do objeto ao espelho 1 de tal modo que as imagens
formadas por reflexão em cada um dos espelhos tenham a mesma altura (Figura 1).
O objeto colocado entre os espelhos produz duas imagens, como estes espelhos têm raios de curvatura
diferentes as suas imagens podem se formar com a mesma altura, mas não necessariamente, na mesma posição.
Solução:
A distância entre os espelhos é igual à soma das distâncias do objeto a cada espelho
\[
\begin{gather}
d=p_1+p_2 \\[5pt]
p_1+p_2=3 \tag{I}
\end{gather}
\]
A distância focal dos espelhos é dada por
\[
\begin{gather}
\bbox[#99CCFF,10px]
{f=\frac{R}{2}}
\end{gather}
\]
para os espelhos 1 e 2
\[
\begin{gather}
f_1=\frac{R_1}{2} \\[5pt]
f_1=\frac{1}{2} \\[5pt]
f_1=0,5\;\mathrm m \tag{II}
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
f_2=\frac{R_2}{2} \\[5pt]
f_2=\frac{1,5}{2} \\[5pt]
f_2=0,75\;\mathrm m \tag{III}
\end{gather}
\]
A Equação dos Pontos Conjugados é dada por
\[
\begin{gather}
\bbox[#99CCFF,10px]
{\frac{1}{f}=\frac{1}{p}+\frac{1}{p'}}
\end{gather}
\]
para os espelhos 1 e 2
\[
\begin{gather}
\frac{1}{f_1}=\frac{1}{p_1}+\frac{1}{p'_1} \tag{IV}
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
\frac{1}{f_2}=\frac{1}{p_2}+\frac{1}{p'_2} \tag{V}
\end{gather}
\]
A Equação do Aumento Linear é dada por
\[
\begin{gather}
\bbox[#99CCFF,10px]
{\frac{i}{o}=-{\frac{p'}{p}}}
\end{gather}
\]
para os espelhos 1 e 2, o objeto é o mesmo para os dois espelhos e tem altura o, o problema quer
que a altura das imagens seja a mesma i1 = i2 = i
\[
\begin{gather}
\frac{i}{o}=-{\frac{p'_1}{p_1}} \\[5pt]
\frac{1}{p'_1}=-{\frac{i}{o}}\frac{1}{p_1} \tag{VI}
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
\frac{i}{o}=-{\frac{p'_2}{p_2}} \\[5pt]
\frac{1}{p'_2}=-{\frac{i}{o}}\frac{1}{p_2} \tag{VII}
\end{gather}
\]
Substituindo a equação (VI) na equação (IV)
\[
\begin{gather}
\frac{1}{f_1}=\frac{1}{p_1}-\frac{i}{o}\frac{1}{p_1}
\end{gather}
\]
colocando
\( \dfrac{1}{p_1} \)
em evidência
\[
\begin{gather}
\frac{1}{f_1}=\frac{1}{p_1}\left(1-\frac{i}{o}\right) \\[5pt]
\frac{p_1}{f_1}=1-\frac{i}{o} \tag{VIII}
\end{gather}
\]
Substituindo a equação (VII) na equação (V)
\[
\begin{gather}
\frac{1}{f_2}=\frac{1}{p_2}-\frac{i}{o}\frac{1}{p_2}
\end{gather}
\]
colocando
\( \dfrac{1}{p_2} \)
em evidência
\[
\begin{gather}
\frac{1}{f_2}=\frac{1}{p_2}\left(1-\frac{i}{o}\right) \\[5pt]
\frac{p_2}{f_2}=1-\frac{i}{o} \tag{IX}
\end{gather}
\]
Igualando as equações (VIII) e (IX)
\[
\begin{gather}
\frac{p_1}{f_1}=\frac{p_2}{f_2} \tag{X}
\end{gather}
\]
queremos a distância do objeto ao espelho 1 dada por p1, isolando o valor de
p2 na equação (I)
\[
\begin{gather}
p_2=3-p_1 \tag{XI}
\end{gather}
\]
substituindo a equação (XI) e os valores dos focos de (II) e (III) na equação (X)
\[
\begin{gather}
\frac{p_1}{0,5}=\frac{3-p_1}{0,75}
\end{gather}
\]
multiplicando em “cruz”
\[
\begin{gather}
0,75p_1=0,5(3-p_1) \\[5pt]
0,75p_1=1,5-0,5p_1 \\[5pt]
0,75p_1+0,5p_1=1,5 \\[5pt]
1,25p_1=1,5 \\[5pt]
p_1=\frac{1,5}{1,25}
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
\bbox[#FFCCCC,10px]
{p_1=1,2\;\mathrm m}
\end{gather}
\]
