Exercício Resolvido de Espelhos Esféricos
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Tem-se um espelho esférico côncavo de distância focal 12 cm. Calcular a que distância desse espelho deverá colocar-se um observador cuja distância mínima de visão distinta vale 32 cm, para ver nitidamente uma imagem direita do seu olho.

Dados do problema:

  • Distância focal do espelho: f = 12 cm;
  • Distância do olho à imagem: d = 32 cm.

Esquema do problema:

Usando as propriedades dos espelhos esféricos que todo raio de luz que incide paralelamente ao eixo principal é refletido passando pelo foco principal do espelho (raio 1 nas Figuras 1-A e 1-B) e que todo raio de luz que incide no vértice do espelho reflete-se de forma simétrica ao eixo principal (raio 2), temos duas possibilidades:

  • Se o objeto (olho do observador) estiver antes do foco do espelho a imagem formada será invertida (Figura 1-A);
Figura 1
  • Se o objeto estiver entre o vértice do espelho e o foco a imagem formada será direita (Figura 1-B), como pede o problema.
Figura 2

A distância de visão distinta do observador é dada como 32 cm, que é a soma da distância do objeto ao espelho, p e da distância da imagem ao espelho, p'

\[ \begin{gather} d=p+p'\\ p+p'=32 \tag{I} \end{gather} \]

Solução:

Usando a Equação dos Pontos Conjugados

\[ \begin{gather} \bbox[#99CCFF,10px] {\frac{1}{f}=\frac{1}{p}+\frac{1}{p'}} \tag{II} \end{gather} \]

Da equação (I)

\[ \begin{gather} p'=32-p \end{gather} \]

como a imagem se forma atrás do espelho este valor será negativo, p' < 0

\[ \begin{gather} p'=-(32-p) \\[5pt] p'=p-32 \tag{III} \end{gather} \]

substituindo a equação (III) na equação (II) e o valor do foco dado

\[ \begin{gather} \frac{1}{12}=\frac{1}{p}+\frac{1}{p-32} \end{gather} \]

o fator comum entre p e (p−32) é p(p − 32)

\[ \begin{gather} \frac{1}{12}=\frac{p-32+p}{p(p-32)} \\[5pt] \frac{1}{12}=\frac{2p-32}{p(p-32)} \end{gather} \]

multiplicando em “cruz”

\[ \begin{gather} p(p-32)=12\times(2p-32) \\[5pt] p^2-32p=12\times 2p-12\times 32 \\[5pt] p^2-32p=24p-384 \\[5pt] p^2-32p-24p+384=0 \\[5pt] p^2-56p+384=0 \end{gather} \]

Esta é uma Equação do 2.º Grau onde a incógnita é o valor p

Solução da Equação do 2.º Grau   \( p^2-56p+384=0 \)
\[ \begin{gather} \Delta=b^2-4ac=\left(-56\right)^2-4\times 1\times 384=3136-1536=1600\\[10pt] p=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{-(-56)\pm \sqrt{1600}}{2\times 1}=\frac{56\pm 40}{2} \end{gather} \]
as duas raízes da equação são
\[ \begin{gather} p_1=48 \quad\text{ou}\quad p_2=8 \end{gather} \]

Desprezando a raiz igual a 48, onde o objeto está antes do foco e produz uma imagem invertida, o valor para que a imagem seja direita deve estar entre o foco e o vértice do espelho, assim a solução será p = 8 cm.

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