Um espelho esférico associa uma imagem virtual e direita a um objeto real. A dimensão transversal da imagem
é metade da do objeto e a distância que os separa é d. Determinar o tipo de espelho, sua distância
focal e qual, em módulo, a distância x do seu vértice ao objeto?
Dados do problema:
-
Dimensão da imagem:
\( i=\dfrac{o}{2} \);
- Distância do objeto à imagem: p −p' = d;
- Distância do objeto ao vértice do espelho: p = x.
Esquema do problema:
Solução:
O problema nos diz que a imagem é virtual, portanto, p' < 0 e direita, i > 0.
\[
\begin{gather}
x-p'=d \\[5pt]
p'=x-d \tag{I}
\end{gather}
\]
Usando a Equação do Aumento Linear Transversal, temos o valor de x
\[
\begin{gather}
\bbox[#99CCFF,10px]
{\frac{i}{o}=-{\frac{p'}{p}}}
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
\frac{\dfrac{o}{2}}{o}=-{\frac{(x-d)}{x}} \\[5pt]
\frac{\cancel o}{2}\times\frac{1}{\cancel o}=-{\frac{(x-d)}{x}} \\[5pt]
x=-2(x-d) \\[5pt]
x=-2x+2d\\x+2x=2d \\[5pt]
3x=2d
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
\bbox[#FFCCCC,10px]
{x=|x|=\frac{2}{3}d}
\end{gather}
\]
Dos dados temos que p = x
\[
\begin{gather}
p=x=\frac{2}{3}d \tag{II}
\end{gather}
\]
Usando a equação (I)
\[
\begin{gather}
p'=\frac{2}{3}d-d \\[5pt]
p'=\frac{2d-3d}{3} \\[5pt]
p'=-{\frac{1}{3}}d \tag{III}
\end{gather}
\]
Substituindo as equações (II) e (III) na Equação dos Pontos Conjugados, obtemos a distância focal
\[
\begin{gather}
\bbox[#99CCFF,10px]
{\frac{1}{f}=\frac{1}{p}+\frac{1}{p'}}
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
\frac{1}{f}=\frac{1}{\dfrac{2}{3}d}+\frac{1}{\left(-{\dfrac{1}{3}}d\right)} \\[5pt]
\frac{1}{f}=\frac{3}{2d}-\frac{3}{d} \\[5pt]
\frac{1}{f}=\frac{3-6}{2d} \\[5pt]
\frac{1}{f}=-{\frac{3}{2d}}
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
\bbox[#FFCCCC,10px]
{f=-{\frac{2}{3}}d}
\end{gather}
\]
Como f < 0 o espelho é
convexo.
