Exercício Resolvido de Espelhos Esféricos
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Diante de um espelho esférico côncavo cujo raio de curvatura mede 80 cm coloca-se um segmento retilíneo luminoso AB. Determinar a posição e a dimensão da imagem de AB. São dados AA1 = 2 cm, BB1 = 4 cm, A1V = 100 cm e B1V= 120 cm.

Dados do problema:

  • Raio de curvatura do espelho: R = 80 cm;
  • Altura do ponto A: AA1 = ya = 2 cm;
  • Altura do ponto B: BB1 = yb = 4 cm;
  • Distância do ponto A1 ao vértice do espelho: A1V = pa = 100 cm;
  • Distância do ponto B1 ao vértice do espelho: B1V = pb = 120 cm.

Construção da imagem:

Adotamos um Referencial de Gauss, sendo positiva a direção horizontal de onde vem o raio de luz (a esquerda, onde está o objeto) e para cima na direção vertical (Figura 1).

Figura 1

Usando a propriedade dos espelhos esféricos que diz que todo raio de luz que incide paralelamente ao eixo principal é refletido passando pelo foco principal do espelho (Figura 2).

Figura 2

Tomando-se um segundo raio com a propriedade de que todo raio de luz que incide no vértice do espelho reflete-se de forma simétrica ao eixo principal (Figura 3). No cruzamento dos raios refletidos determina-se o ponto B’ de abscissa B’1.

Figura 3

De forma análoga um raio de luz que parte do ponto A é refletido pelo foco (Figura 4).

Figura 4

E um raio que incide no vértice é refletido simetricamente (Figura 5), e no ponto de cruzamento fica determinado o ponto A’ de abscissa A’1.

Figura 5

Os pontos A’ e B’ vão determinar a imagem do objeto AB.

Esquema do problema:

Observando a Figura 6 temos os seguintes elementos no problema

Figura 7

Solução:

A distância do foco ao vértice será dada por

\[ \begin{gather} \bbox[#99CCFF,10px] {f=\frac{R}{2}} \end{gather} \]
\[ \begin{gather} f=\frac{80}{2} \\[5pt] f=40\;\mathrm{cm} \end{gather} \]

Para o cálculo da distância da imagem ao espelho utilizamos a Equação dos Pontos Conjugados

\[ \begin{gather} \bbox[#99CCFF,10px] {\frac{1}{f}=\frac{1}{p}+\frac{1}{p'}} \tag{I} \end{gather} \]

E para o cálculo do tamanho da imagem usamos a Equação do Aumento Linear Transversal

\[ \begin{gather} \bbox[#99CCFF,10px] {\frac{i}{o}=-{\frac{p'}{p}}} \tag{II} \end{gather} \]

Aplicando a equação (I) a distância p’a do ponto A será

\[ \begin{gather} \frac{1}{f}=\frac{1}{p_a}+\frac{1}{p'_a} \\[5pt] \frac{1}{p'_a}=\frac{1}{f}-\frac{1}{p_a} \\[5pt] \frac{1}{p'_a}=\frac{1}{40}-\frac{1}{100} \end{gather} \]

o Mínimo Múltiplo Comum (M.M.C.) entre 40 e 100 é 200

\[ \begin{gather} \frac{1}{p'_a}=\frac{5-2}{200} \\[5pt] \frac{1}{p'_a}=\frac{3}{200} \\[5pt] p'_a=\frac{200}{3} \tag{III} \\[5pt] p'_a=66,7\;\mathrm{cm} \end{gather} \]

Aplicando a equação (II) a altura y’a do ponto A será

\[ \begin{gather} \frac{y'_a}{y_a}=-{\frac{p'_a}{p_a}} \end{gather} \]

substituindo os dados fornecidos, e para o valor de p’a usamos a forma de (III) para facilitar os cálculos

\[ \begin{gather} \frac{y'_a}{2}=-{\frac{\dfrac{200}{3}}{100}} \\[5pt] y'_a=-2\times\frac{200}{3}\times\frac{1}{100} \\[5pt] y'_a=-{\frac{4}{3}} \tag{IV} \\[5pt] y'_a=-1,33\;\mathrm{cm} \end{gather} \]

Aplicando a equação (I) a distância p’b do ponto B será

\[ \begin{gather} \frac{1}{f}=\frac{1}{p_b}+\frac{1}{p'_b} \\[5pt] \frac{1}{p'_b}=\frac{1}{f}-\frac{1}{p_b} \\[5pt] \frac{1}{p'_b}=\frac{1}{40}-\frac{1}{120} \end{gather} \]

o Mínimo Múltiplo Comum (M.M.C.) entre 40 e 120 é 120

\[ \begin{gather} \frac{1}{p'_b}=\frac{3-1}{120} \\[5pt] \frac{1}{p'_b}=\frac{2}{120} \\[5pt] p'_b=\frac{120}{2} \\[5pt] p'_b=60\;\mathrm{cm} \tag{V} \end{gather} \]

Aplicando a equação (II) a altura y’b do ponto B será

\[ \begin{gather} \frac{y'_b}{y_b}=-{\frac{p'_b}{p_b}} \\[5pt] \frac{y'_b}{4}=-{\frac{60}{120}} \\[5pt] y'_b=-4\times\frac{1}{2} \\[5pt] y'_b=-2\;\mathrm{cm} \tag{VI} \end{gather} \]

Para encontrarmos a dimensão (d) do objeto utilizamos as distâncias e tamanhos da imagem encontrados em (III), (IV), (V) e (VI) representando esses valores no próprio Referencial de Gauss do problema como mostrado na Figura 7.

Figura 7

Para o cálculo da distância entre os pontos A’ e B’ aplicamos a Equação de Distância de Ponto a Ponto

\[ \begin{gather} \bbox[#99CCFF,10px] {d(a,b)=\sqrt{\left(x_a-x_{b}\right)^2+\left(y_a-y_{b}\right)^2\;}} \end{gather} \]
\[ \begin{gather} d(A',B')=\sqrt{\left(p'_a-p'_b\right)^2+\left(y'_a-y'_b\right)^2\;} \\[5pt] d(A',B')=\sqrt{\left(\frac{200}{3}-60\right)^2+\left(-{\frac{4}{3}}-(-2)\right)^2\;} \\[5pt] d(A',B')=\sqrt{\left(\frac{200-180}{3}\right)^2+\left(\frac{-4+6}{3}\right)^2\;} \\[5pt] d(A',B')=\sqrt{\left(\frac{20}{3}\right)^2+\left({\frac{2}{3}}\right)^2\;} \\[5pt] d(A',B')=\sqrt{\frac{400}{9}+\frac{4}{9}\;} \\[5pt] d(A',B')=\sqrt{\frac{404}{9}\;} \\[5pt] d(A',B')=\sqrt{44,9\;} \\[5pt] d(A',B')=6,7\;\mathrm{cm} \end{gather} \]

A posição e dimensão da imagem serão

A’A’1 = 1,33 cm;
B’B’1 = 2 cm;
A’1V = 66,7 cm;
B’1V = 60 cm;
A’B’ = 6,8 cm.

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