Um carro está em movimento uniformemente acelerado com velocidade inicial v0 e aceleração
α.
a) Calcular a distância percorrida pelo carro no enésimo segundo (ou seja, entre os instantes
n−1 e n);
b) Para v0 = 15 m/s e α = 1,2 m/s2, calcular a distância
percorrida no primeiro segundo e no décimo quinto segundo.
Dados do problema:
- Velocidade inicial: v0;
- Aceleração: α.
Esquema do problema:
Adotando-se um sistema de referência orientado para direita, Sn é o espaço percorrido
pelo carro da origem até o enésimo segundo e Sn−1 o espaço percorrido
pelo carro da origem até o segundo anterior (Figura 1).
Solução:
a) O carro está em Movimento Retilíneo Uniformemente Variado (M.R.U.V.), dado por
\[
\begin{gather}
\bbox[#99CCFF,10px]
{S=S_0+v_0t+\frac{a}{2}t^2} \tag{I}
\end{gather}
\]
Aplicando a equação (I) para o deslocamento do carro até o instante t = n−1
\[
\begin{gather}
S_{n-1}=S_0+v_0(n-1)+\frac{\alpha }{2}(n-1)^2
\end{gather}
\]
Dos
Produtos Notáveis
\[
\begin{gather}
(a-b)^2=a^2-2ab+b^2
\end{gather}
\]
aplicando ao termo
\( (n-1)^2 \)
\[
\begin{gather}
S_{n-1}=S_0+v_0(n-1)+\frac{\alpha}{2}(n-1)^2 \\[5pt]
S_{n-1}=S_0+v_0n-v_0+\frac{\alpha}{2}(n^2-2n+1) \\[5pt]
S_{n-1}=S_0+v_0n-v_0+\frac{\alpha}{2}n^2-\frac{\alpha }{2}2n+\frac{\alpha}{2} \\[5pt]
S_{n-1}=S_0+v_0n-v_0+\frac{\alpha}{2}n^2-\alpha n+\frac{\alpha}{2} \tag{II}
\end{gather}
\]
Aplicando a equação (I) para o instante t = n
\[
\begin{gather}
S_n=S_0+v_0n+\frac{\alpha}{2}n^2 \tag{III}
\end{gather}
\]
Como queremos o espaço percorrido apenas no enésimo segundo, temos a condição
\[
\begin{gather}
\Delta S=S_n-S_{n-1}
\end{gather}
\]
subtraindo a equação (II) da equação (III)
\[
\begin{gather}
\Delta S=S_0+v_0n+\frac{\alpha}{2}n^2-\left[S_0+v_0n-v_0+\frac{\alpha}{2}n^2-\alpha n+\frac{\alpha}{2}\right] \\[5pt]
\Delta S=S_0+v_0n+\frac{\alpha}{2}n^2-S_0-v_0n+v_0-\frac{\alpha}{2}n^2+\alpha n-\frac{\alpha}{2} \\[5pt]
\Delta S=v_0+\alpha n-\frac{\alpha}{2}
\end{gather}
\]
colocando α em evidência
\[
\begin{gather}
\bbox[#FFCCCC,10px]
{\Delta S=v_0+\alpha \left(n-\frac{1}{2}\right)}
\end{gather}
\]
b) Usando a equação obtida no item anterior e os valores dados
\[
\begin{gather}
\Delta S=15+1,2\times\left(1-\frac{1}{2}\right) \\[5pt]
\Delta S=15+1,2\times\left(\frac{2-1}{2}\right) \\[5pt]
\Delta S=15+1,2\times\frac{1}{2} \\[5pt]
\Delta S=15+0,6
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
\bbox[#FFCCCC,10px]
{\Delta S=15,6\;\mathrm m}
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
\Delta S=15+1,2\times\left(15-\frac{1}{2}\right) \\[5pt]
\Delta S=15+1,2\times\left(\frac{30-1}{2}\right) \\[5pt]
\Delta S=15+1,2\times\frac{29}{2} \\[5pt]
\Delta S=15+0,6\times29 \\[5pt]
\Delta S=15+17,4
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
\bbox[#FFCCCC,10px]
{\Delta S=32,4\;\mathrm m}
\end{gather}
\]
Observação: No primeiro caso o carro percorre 15,6 m e este é também o espaço percorrido
desde o instante inicial até t = 1 s. No segundo caso o carro percorre 32,4 m entre t =14 s
e t = 15 s, mas este não e o ponto da trajetória em que ele se encontra desde que partiu da origem.
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