Exercício Resolvido de Movimento Unidimensional
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Um carro está em movimento uniformemente acelerado com velocidade inicial v0 e aceleração α.
a) Calcular a distância percorrida pelo carro no enésimo segundo (ou seja, entre os instantes n−1 e n);
b) Para v0 = 15 m/s e α = 1,2 m/s2, calcular a distância percorrida no primeiro segundo e no décimo quinto segundo.


Dados do problema:
  • Velocidade inicial:    v0;
  • Aceleração:    α.
Esquema do problema:

Adotando-se um sistema de referência orientado para direita, Sn é o espaço percorrido pelo carro da origem até o enésimo segundo e Sn−1 o espaço percorrido pelo carro da origem até o segundo anterior (Figura 1).

Figura 1

Solução

a) O carro está em Movimento Retilíneo Uniformemente Variado (M.R.U.V.), dado por
\[ \begin{gather} \bbox[#99CCFF,10px] {S=S_{0}+v_{0}t+\frac{a}{2}t^{2}} \tag{I} \end{gather} \]
Aplicando a expressão (I) para o deslocamento do carro até o instante t = n−1
\[ S_{n-1}=S_{0}+v_{0}(n-1)+\frac{\alpha }{2}(n-1)^{2} \]
Lembrando dos Produtos Notáveis
\[ (a-b)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} \]

aplicando ao termo \( (n-1)^{2} \)
\[ \begin{gather} S_{n-1}=S_{0}+v_{0}(n-1)+\frac{\alpha}{2}(n-1)^{2}\\[5pt] S_{n-1}=S_{0}+v_{0}n-v_{0}+\frac{\alpha}{2}(n^{2}-2n+1)\\[5pt] S_{n-1}=S_{0}+v_{0}n-v_{0}+\frac{\alpha}{2}n^{2}-\frac{\alpha }{2}2n+\frac{\alpha}{2}\\[5pt] S_{n-1}=S_{0}+v_{0}n-v_{0}+\frac{\alpha }{2}n^{2}-\alpha n+\frac{\alpha }{2} \tag{II} \end{gather} \]
Aplicando a expressão (I) para o instante t = n
\[ \begin{gather} S_{n}=S_{0}+v_{0}n+\frac{\alpha }{2}n^{2} \tag{III} \end{gather} \]
Como queremos o espaço percorrido apenas no enésimo segundo, temos a condição
\[ \Delta S=S_{n}-S_{n-1} \]
subtraindo a expressão (II) da expressão (III)
\[ \begin{gather} \Delta S=S_{0}+v_{0}n+\frac{\alpha}{2}n^{2}-\left[S_{0}+v_{0}n-v_{0}+\frac{\alpha }{2}n^{2}-\alpha n+\frac{\alpha }{2}\right]\\ \Delta S=S_{0}+v_{0}n+\frac{\alpha}{2}n^{2}-S_{0}-v_{0}n+v_{0}-\frac{\alpha }{2}n^{2}+\alpha n-\frac{\alpha }{2}\\ \Delta S=v_{0}+\alpha n-\frac{\alpha}{2} \end{gather} \]
colocando α em evidência
\[ \bbox[#FFCCCC,10px] {\Delta S=v_{0}+\alpha \left(n-\frac{1}{2}\right)} \]

b) Usando a expressão obtida no item anterior e os valores dados
  • Para n = 1
\[ \begin{gather} \Delta S=15+1,2.\left(1-\frac{1}{2}\right)\\ \Delta S=15+1,2.\left(\frac{2-1}{2}\right)\\ \Delta S=15+1,2.\frac{1}{2}\\ \Delta S=15+0,6 \end{gather} \]
\[ \bbox[#FFCCCC,10px] {\Delta S=15,6\;\text{m}} \]

Figura 2
  • Para n = 15
\[ \begin{gather} \Delta S=15+1,2.\left(15-\frac{1}{2}\right)\\ \Delta S=15+1,2.\left(\frac{30-1}{2}\right)\\ \Delta S=15+1,2.\frac{29}{2}\\ \Delta S=15+0,6.29\\ \Delta S=15+17,4 \end{gather} \]
\[ \bbox[#FFCCCC,10px] {\Delta S=32,4\;\text{m}} \]

Figura 3

Observação: No primeiro caso o carro percorre 15,6 m e este é também o espaço percorrido desde o instante inicial até t = 1 s. No segundo caso o carro percorre 32,4 m entre t =14 s e t = 15 s, mas este não e o ponto da trajetória em que ele se encontra desde que partiu da origem.
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