Um trem parte de uma estação A, onde está em repouso, com aceleração constante a, em certo
momento o maquinista imprime ao trem uma desaceleração igual a b, o trem para ao chegar a uma
estação B. Sendo L a distância entre as estações, determine o tempo percorrido na viagem.
Dados do problema:
- Aceleração do trem: αa = a;
- Desaceleração do trem: αb = b;
- Distância entre as estações: L.
Esquema do problema:
Adota-se um sistema de referência orientado para a direita com origem na estação A, a posição
D é o ponto da trajetória em que o maquinista começa a frear o trem e L a posição onde se
encontra a estação B (Figura 1). As grandezas com índice A refere-se a primeira parte da
trajetória e com índice B a segunda parte.
Solução:
O trem tem uma aceleração, a > 0 na primeira parte do movimento e a < 0 na segunda
parte. Ele está em Movimento Retilíneo Uniformemente Variado (M.R.U.V.), dado por
\[
\begin{gather}
\bbox[#99CCFF,10px]
{S=S_0+v_0t+\frac{\alpha }{2}t^2} \tag{I}
\end{gather}
\]
para a velocidade
\[
\begin{gather}
\bbox[#99CCFF,10px]
{v=v_0+\alpha t} \tag{II}
\end{gather}
\]
Temos S0a = 0 a posição de onde o trem parte e começa a acelerar. Em
Sa = D a posição final onde o trem para de acelerar e começa a desacelerar.
O trem, parte do repouso, v0a = 0, com aceleração
αa = a e ta o intervalo de tempo em que o trem permanece
em movimento acelerado, substituindo esses dados na equação (I)
\[
\begin{gather}
S_a=S_{0 a}+v_{0 a}t_a+\frac{\alpha_a}{2}t_a^2 \\[5pt]
D=0+0t_a+\frac{a}{2}t_a^2 \\[5pt]
D=\frac{a}{2}t_a^2 \tag{III}
\end{gather}
\]
Para a velocidade temos que va é a velocidade final do trem após ter acelerado por um
tempo ta
\[
\begin{gather}
v_a=v_{0 a}+\alpha_at_a \\[5pt]
v_a=0+at_a \\[5pt]
v_a=at_a \tag{IV}
\end{gather}
\]
Para a segunda parte da viagem temos S0b = D a posição onde o trem começa a
desacelerar, Sb = L a posição final onde o trem para. A velocidade inicial
v0b = va em que o trem se encontra quando começa a frear, é
igual a velocidade final da primeira parte do movimento. A desaceleração do trem é
αb = b e tb o intervalo de tempo que o trem
desacelera até parar, substituindo estes valores na equação (I)
\[
\begin{gather}
S_b=S_{0 b}+v_{0 b}t_b+\frac{\alpha_b}{2}t_b^2\\[5pt]
L=D+at_at_b-\frac{b}{2}t_b^2 \tag{V}
\end{gather}
\]
Para velocidade temos que o trem para ao chegar na estação B, a velocidade final será
vb = 0, a velocidade inicial v0b = va será
dada pela equação (IV) acima, e tb é o intervalo de tempo que o trem desacelera até
parar
\[
\begin{gather}
v_b=v_{0 b}+\alpha_bt_b \\[5pt]
0=at_a-bt_b \\[5pt]
at_a=bt_b \tag{VI}
\end{gather}
\]
Isolando tb na expessão (VI) temos o intervalo de tempo em que o trem desacelera
\[
\begin{gather}
t_b=\frac{a}{b}t_a \tag{VII}
\end{gather}
\]
substituindo as equações (III) e (VII) na equação (V)
\[
\begin{gather}
L=\frac{a}{2}t_a^2+at_a\frac{a}{b}t_a-\frac{b}{2}\left(\frac{a}{b}t_a\right)^2 \\[5pt]
L=\frac{a}{2}t_a^2+\frac{a^2}{b}t_a^2-\frac{b}{2}\frac{a^2}{b^2}t_a^2 \\[5pt]
L=\frac{a}{2}t_a^2+\frac{a^2}{b}t_a^2-\frac{a^2}{2b}t_a^2 \\[5pt]
L=\frac{a}{2}t_a^2+\frac{a^2}{2b}t_a^2 \\[5pt]
L=t_a^2\left(\frac{a}{2}+\frac{a^2}{2b}\right) \\[5pt]
L=t_a^2\left(\frac{ab+a^2}{2b}\right)
\end{gather}
\]
isolando ta temos o tempo em que o trem percorre a primeira parte do trajeto
\[
\begin{gather}
t_a^2=\frac{2Lb}{a(a+b)} \\[5pt]
t_a=\sqrt{\frac{2Lb}{a(a+b)}}=\left[\frac{2Lb}{a(a+b)}\right]^{\frac{1}{2}} \tag{VIII}
\end{gather}
\]
Da mesma forma podemos isolar ta na equação (VII)
\[
\begin{gather}
t_a=\frac{b}{a}t_b \tag{IX}
\end{gather}
\]
substituindo este valor e a equação (III) na equação (V)
\[
\begin{gather}
L=\frac{a}{2}t_a^2+at_at_b-\frac{b}{2}t_b^2
\end{gather}
\]
utilizando a equação (IX) para o valor de ta
\[
\begin{gather}
L=\frac{a}{2}\left(\frac{b}{a}t_b\right)^2+a\frac{b}{a}t_bt_b-\frac{b}{2}t_b^2 \\[5pt]
L=\frac{a}{2}\frac{b^2}{a^2}t_b^2+a\frac{b}{a}t_b^2-\frac{b}{2}t_b^2 \\[5pt]
L=\frac{b^2}{2a}t_b^2+bt_b^2-\frac{b}{2}t_b^2 \\[5pt]
L=\frac{b^2}{2a}t_b^2+\frac{b}{2}t_b^2 \\[5pt]
L=t_b^2\left(\frac{b^2}{2a}+\frac{b}{2}\right) \\[5pt]
L=t_b^2\left(\frac{b^2+ab}{2a}\right)
\end{gather}
\]
o tempo percorrido até o trem parar na estação B será
\[
\begin{gather}
t_b^2=\frac{2La}{b(b+a)} \\[5pt]
t_b=\sqrt{\frac{2La}{b(b+a)}}=\left[\frac{2La}{b(b+a)}\right]^{\frac{1}{2}} \tag{X}
\end{gather}
\]
O tempo total da viagem t será dado pela soma das equações (VIII) e (X)
\[
\begin{gather}
t=t_a+t_b \\[5pt]
t=\left[\frac{2Lb}{a(a+b)}\right]^{\frac{1}{2}}+\left[\frac{2La}{b(a+b)}\right]^{\frac{1}{2}}
\end{gather}
\]
colocando o termo
\( \left[\dfrac{2L}{a+b}\right]^{\frac{1}{2}} \)
em evidência
\[
\begin{gather}
t=\left[\frac{2L}{a+b}\right]^{\frac{1}{2}}\left[\left(\frac{b}{a}\right)^{\frac{1}{2}}+\left(\frac{a}{b}\right)^{\frac{1}{2}}\right] \\[5pt]
t=\left[\frac{2L}{a+b}\right]^{\frac{1}{2}}\;\left[\frac{b^{\frac{1}{2}}}{a^{\frac{1}{2}}}+\frac{a^{\frac{1}{2}}}{b^{\frac{1}{2}}}\right] \\[5pt]
t=\left[\frac{2L}{a+b}\right]^{\frac{1}{2}}\left[\frac{b^{\frac{1}{2}}b^{\frac{1}{2}}+a^{\frac{1}{2}}a^{\frac{1}{2}}}{a^{\frac{1}{2}}b^{\frac{1}{2}}}\right] \\[5pt]
t=\left[\frac{2L}{a+b}\right]^{\frac{1}{2}}\left[\frac{b+a}{a^{\frac{1}{2}}b^{\frac{1}{2}}}\right]
\end{gather}
\]
colocando o segundo termo entre colchetes para dentro da raiz
\[
\begin{gather}
t=\left[\frac{2L}{\cancel{(a+b)}}\frac{(b+a)^{\cancel{2}}}{ab}\right]^{\frac{1}{2}}
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
\bbox[#FFCCCC,10px]
{t=\left[\frac{2L(b+a)}{ab}\right]^{\frac{1}{2}}}
\end{gather}
\]
EN
