Exercício Resolvido de Movimento Unidimensional

Um trem parte de uma estação A, onde está em repouso, com aceleração constante a, em certo momento o maquinista imprime ao trem uma desaceleração igual a b, o trem para ao chegar a uma estação B. Sendo L a distância entre as estações, determine o tempo percorrido na viagem.

Dados do problema:

Aceleração do trem: α_A = a;
Desaceleração do trem: α_B = b;
Distância entre as estações: L.

Esquema do problema:

Figura 1

Adota-se um sistema de referência orientado para a direita com origem na estação A, a posição D é o ponto da trajetória em que o maquinista começa a frear o trem e L a posição onde se encontra a estação B (Figura 1). As grandezas com índice A refere-se a primeira parte da trajetória e com índice B a segunda parte.

Solução

O trem tem uma aceleração, a > 0 na primeira parte do movimento e a < 0 na segunda parte. Ele está em Movimento Retilíneo Uniformemente Variado (M.R.U.V.), dado por

\[ \begin{gather} \bbox[#99CCFF,10px] {S=S_{0}+v_{0}t+\frac{\alpha }{2}t^{2}} \tag{I} \end{gather} \]

para a velocidade

\[ \begin{gather} \bbox[#99CCFF,10px] {v=v_{0}+\alpha t} \tag{II} \end{gather} \]

Temos S_0A = 0 a posição de onde o trem parte e começa a acelerar. Em S_A = D a posição final onde o trem para de acelerar e começa a desacelerar. O trem, parte do repouso, v_0A = 0, com aceleração α_A = a e t_A o intervalo de tempo em que o trem permanece em movimento acelerado, substituindo esses dados na expressão (I)

\[ \begin{gather} S_{A}=S_{0 A}+v_{0 A}t_{A}+\frac{\alpha_{A}}{2}t_{A}^{2}\\[5pt] D=0+0t_{A}+\frac{a}{2}t_{A}^{2}\\[5pt] D=\frac{a}{2}t_{A}^{2} \tag{III} \end{gather} \]

Para a velocidade temos que v_A é a velocidade final do trem após ter acelerado por um tempo t_A

\[ \begin{gather} v_{A}=v_{0 A}+\alpha_{A}t_{A}\\[5pt] v_{A}=0+at_{A}\\[5pt] v_{A}=at_{A} \tag{IV} \end{gather} \]

Para a segunda parte da viagem temos S_0B = D a posição onde o trem começa a desacelerar, S_B = L a posição final onde o trem para. A velocidade inicial v_0B = v_A em que o trem se encontra quando começa a frear, é igual a velocidade final da primeira parte do movimento. A desaceleração do trem é α_B = b e t_B o intervalo de tempo que o trem desacelera até parar, substituindo estes valores na expressão (I)

\[ \begin{gather} S_{B}=S_{0 B}+v_{0 B}t_{B}+\frac{\alpha_{B}}{2}t_{B}^{2}\\[5pt] L=D+at_{A}t_{B}-\frac{b}{2}t_{B}^{2} \tag{V} \end{gather} \]

Para velocidade temos que o trem para ao chegar na estação B, a velocidade final será v_B = 0, a velocidade inicial v_0B = v_A será dada pela expressão (IV) acima, e t_B é o intervalo de tempo que o trem desacelera até parar

\[ \begin{gather} v_{B}=v_{0 B}+\alpha_{B}t_{B}\\[5pt] 0=at_{A}-bt_{B}\\[5pt] at_{A}=bt_{B} \tag{VI} \end{gather} \]

Isolando t_B na expessão (VI) temos o intervalo de tempo em que o trem desacelera

\[ \begin{gather} t_{B}=\frac{a}{b}t_{A} \tag{VII} \end{gather} \]

substituindo as expressões (III) e (VII) na expressão (V)

\[ \begin{gather} L=\frac{a}{2}t_{A}^{2}+at_{A}\frac{a}{b}t_{A}-\frac{b}{2}\left(\frac{a}{b}t_{A}\right)^{2}\\[5pt] L=\frac{a}{2}t_{A}^{2}+\frac{a^{2}}{b}t_{A}^{2}-\frac{b}{2}\frac{a^{2}}{b^{2}}t_{A}^{2}\\[5pt] L=\frac{a}{2}t_{A}^{2}+\frac{a^{2}}{b}t_{A}^{2}-\frac{a^{2}}{2b}t_{A}^{2}\\[5pt] L=\frac{a}{2}t_{A}^{2}+\frac{a^{2}}{2b}t_{A}^{2}\\[5pt] L=t_{A}^{2}\left(\frac{a}{2}+\frac{a^{2}}{2b}\right)\\[5pt] L=t_{A}^{2}\left(\frac{ab+a^{2}}{2b}\right) \end{gather} \]

isolando t_A temos o tempo em que o trem percorre a primeira parte do trajeto

\[ \begin{gather} t_{A}^{2}=\frac{2Lb}{a(a+b)}\\[5pt] t_{A}=\sqrt{\frac{2Lb}{a(a+b)}}=\left[\frac{2Lb}{a(a+b)}\right]^{\frac{1}{2}} \tag{VIII} \end{gather} \]

Da mesma forma podemos isolar t_A na expressão (VII)

\[ \begin{gather} t_{A}=\frac{b}{a}t_{B} \tag{IX} \end{gather} \]

substituindo este valor e a expressão (III) na expressão (V)

\[ \begin{gather} L=\frac{a}{2}t_{A}^{2}+at_{A}t_{B}-\frac{b}{2}t_{B}^{2} \end{gather} \]

utilizando a expressão (IX) para o valor de t_A

\[ \begin{gather} L=\frac{a}{2}\left(\frac{b}{a}t_{B}\right)^{2}+a\frac{b}{a}t_{B}t_{B}-\frac{b}{2}t_{B}^{2}\\[5pt] L=\frac{a}{2}\frac{b^{2}}{a^{2}}t_{B}^{2}+a\frac{b}{a}t_{B}^{2}-\frac{b}{2}t_{B}^{2}\\[5pt] L=\frac{b^{2}}{2a}t_{B}^{2}+bt_{B}^{2}-\frac{b}{2}t_{B}^{2}\\[5pt] L=\frac{b^{2}}{2a}t_{B}^{2}+\frac{b}{2}t_{B}^{2}\\[5pt] L=t_{B}^{2}\left(\frac{b^{2}}{2a}+\frac{b}{2}\right)\\[5pt] L=t_{B}^{2}\left(\frac{b^{2}+ab}{2a}\right) \end{gather} \]

o tempo percorrido até o trem parar na estação B será

\[ \begin{gather} t_{B}^{2}=\frac{2La}{b(b+a)}\\[5pt] t_{B}=\sqrt{\frac{2La}{b(b+a)}}=\left[\frac{2La}{b(b+a)}\right]^{\frac{1}{2}} \tag{X} \end{gather} \]

O tempo total da viagem t será dado pela soma das expressões (VIII) e (X)

\[ \begin{gather} t=t_{A}+t_{B}\\[5pt] t=\left[\frac{2Lb}{a(a+b)}\right]^{\frac{1}{2}}+\left[\frac{2La}{b(a+b)}\right]^{\frac{1}{2}} \end{gather} \]

colocando o termo \( \left[\dfrac{2L}{a+b}\right]^{\frac{1}{2}} \) em evidência

\[ \begin{gather} t=\left[\frac{2L}{a+b}\right]^{\frac{1}{2}}\left[\left(\frac{b}{a}\right)^{\frac{1}{2}}+\left(\frac{a}{b}\right)^{\frac{1}{2}}\right]\\[5pt] t=\left[\frac{2L}{a+b}\right]^{\frac{1}{2}}\;\left[\frac{b^{\frac{1}{2}}}{a^{\frac{1}{2}}}+\frac{a^{\frac{1}{2}}}{b^{\frac{1}{2}}}\right]\\[5pt] t=\left[\frac{2L}{a+b}\right]^{\frac{1}{2}}\left[\frac{b^{\frac{1}{2}}b^{\frac{1}{2}}+a^{\frac{1}{2}}a^{\frac{1}{2}}}{a^{\frac{1}{2}}b^{\frac{1}{2}}}\right]\\[5pt] t=\left[\frac{2L}{a+b}\right]^{\frac{1}{2}}\left[\frac{b+a}{a^{\frac{1}{2}}b^{\frac{1}{2}}}\right] \end{gather} \]

colocando o segundo termo entre colchetes para dentro da raiz

\[ \begin{gather} t=\left[\frac{2L}{\cancel{(a+b)}}\frac{(b+a)^{\cancel{2}}}{ab}\right]^{\frac{1}{2}} \end{gather} \]

\[ \begin{gather} \bbox[#FFCCCC,10px] {t=\left[\frac{2L(b+a)}{ab}\right]^{\frac{1}{2}}} \end{gather} \]

Fisicaexe - Exercícios Resolvidos de Física de Elcio Brandani Mondadori está licenciado com uma Licença Creative Commons - Atribuição-NãoComercial-Compartilha Igual 4.0 Internacional .