Um corpo é abandonado no vácuo de uma altura H. Calcular H sabendo que o corpo percorre os
últimos h metros em T segundos. A aceleração da gravidade é g.
Dados do problema:
- Altura da queda: H;
- Espaço inicial da parte final da trajetória: S0 = h;
- Espaço final: S = 0;
- Intervalo de tempo para percorrer o final da trajetória: T;
- Aceleração da gravidade: g.
Esquema do problema:
Adotando-se um sistema de referência orientado para cima, o espaço inicial será a altura H de
onde objeto é solto, o espaço final será a origem (zero), h é a altura em que o corpo está ao
se contar o tempo final da queda, a aceleração da gravidade e a velocidade terão sinal negativo, estão
no sentido contrário à orientação da trajetória (Figura 1).
Solução:
O corpo cai com a aceleração da gravidade, ele está em queda livre dado pela equação
\[
\begin{gather}
\bbox[#99CCFF,10px]
{S=S_0+v_0 t-\frac{g}{2}t^2} \tag{I}
\end{gather}
\]
Escrevendo a equação (I) para a parte final do movimento
\[
\begin{gather}
0=h-v_{0 h}T-\frac{g}{2}T^2 \tag{II}
\end{gather}
\]
onde
v0h indica a velocidade inicial não a partir do repouso, mas a partir do
ponto em que o corpo passa pelo ponto de altura
h.
Para o cálculo de
v0h (Figura 2), que é a velocidade que o corpo possui ao cair
de
H até
h,
\( \Delta S=h-H \), a partir do repouso,
v0 = 0,
como não se conhece o intervalo de tempo desta queda podemos utilizar a
Equação de Torricelli para obter
v0h
\[
\begin{gather}
v^2=v_0^2-2g\Delta S \\[5pt]
v_{0 h}^2=0^2-2g(h-H) \\[5pt]
v_{0 h}=\sqrt{-2g(h-H)\;} \tag{III}
\end{gather}
\]
Observação: A aceleração da gravidade é maior que zero, g > 0, como
h < H, temos que o espaço percorrido é menor que zero,
ΔS=h−H<0, multiplicado pelo fator (−2) o termo dentro da raiz é
maior que zero, portanto existe a raiz.
Substituindo a equação (III) na equação (II)
\[
\begin{gather}
0=h-\sqrt{-2g(h-H)\;}T-\frac{g}{2}T^2
\end{gather}
\]
isolando o termo com a raiz quadrada do lado esquerdo da igualdade
\[
\begin{gather}
\sqrt{-2g (h-H)\;}T=h-\frac{g}{2}T^2
\end{gather}
\]
elevando os dois lados da igualdade ao quadrado
\[
\begin{gather}
\left(\sqrt{-2g(h-H)\;}T\right)^2=\left(h-\frac{g}{2}T^2\right)^2
\end{gather}
\]
Dos
Produtos Notáveis
\[
\begin{gather}
(a-b)^2=a^2-2ab+b^2
\end{gather}
\]
aplicando ao termo do lado direito da igualdade
\[
\begin{gather}
-2g(h-H)T^2=h^2-2 h\frac{g}{2}T^2+\frac{g^2}{4}T^4
\end{gather}
\]
multiplicando a equação por 4
\[
\begin{gather}
-4\times 2g(h-H)T^2=4h^2-4\times 2h\frac{g}{2}T^2+4\frac{g^2}{4}T^4 \\[5pt]
-8g(h-H)T^2=4h^2-4hgT^2+g^2T^4
\end{gather}
\]
aplicando a propriedade distributiva ao lado esquerdo da equação
\[
\begin{gather}
-8ghT^2+8gHT^2=4h^2-4hgT^2+g^2T^4 \\[5pt]
8gHT^2=4h^2-4hgT^2+g^2T^2+8ghT^4 \\[5pt]
H=\frac{4h^2+4hgT^2+g^2T^4}{8gT^2}
\end{gather}
\]
Dos
Produtos Notáveis
\[
\begin{gather}
(a+b)^2=a^2+2ab+b^2
\end{gather}
\]
no termo do numerador fazemos as seguntes associações
\[
\begin{gather}
a^2=4h^2 \\[5pt]
2ab=4ghT^2 \\[5pt]
b^2=g^2T^4
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
\bbox[#FFCCCC,10px]
{H=\frac{(2h+gT^2)^2}{8gT^2}}
\end{gather}
\]
EN
