Exercício Resolvido de Movimento Unidimensional
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Um passageiro está a 5 m de distância e corre para tentar pegar um trem que está partindo do repouso com aceleração de 2 m/s2. Qual deve ser a velocidade constante mínima do passageiro, vp, para alcançar o trem?




Dados do problema:
  • Distância do passageiro ao trem:    d = 5 m;
  • Velocidade inicial do trem:    v0t = 0;
  • Aceleração do trem:    a = 2 m/s2.
Esquema do problema:

Este problema pode ser reduzido a dois pontos materiais representando o passageiro e a porta do trem. Adotamos um sistema de referência no ponto onde se encontra o passageiro. A posição inicial do passageiro é S0p = 0 e a posição inicial do trem é S0t = 8 m (Figura 1).
Figura 1

Solução

O passageiro está correndo com velocidade constante, está em Movimento Retilíneo Uniforme (M.R.U.), dado por
\[ \begin{gather} \bbox[#99CCFF,10px] {S=S_0+v_0t} \end{gather} \]
\[ \begin{gather} S_p=S_{0p}+v_pt\\[5pt] S_p=0+v_pt\\[5pt] S_p=v_pt \tag{I} \end{gather} \]
O trem está com aceleração constante, está em Movimento Retilíneo Uniformemente Variado (M.R.U.V.), dado por
\[ \begin{gather} \bbox[#99CCFF,10px] {S=S_0+v_0t+\frac{a}{2}t^2} \end{gather} \]
\[ \begin{gather} S_t=S_{0t}+v_{0t}+\frac{a}{2}t^2\\[5pt] S_t=5+0\times t+\frac{a}{2}t^2\\[5pt] S_t=5+t^2 \tag{II} \end{gather} \]
Para que o passageiro alcance a porta do trem devemos impor a condição de igualdade das equações (I) e (II)
\[ \begin{gather} S_p=S_t\\[5pt] v_pt=5+t^2\\[5pt] t^2-v_pt+5=0 \end{gather} \]
Esta é uma Equação do 2.º Grau em t.

Solução da equação    \( t^2-v_pt+5=0 \)

\[ \begin{gather} \Delta =b^2-4ac=v_p^2-4\times 1\times 5=v_p^2-20 \end{gather} \]
\[ \begin{gather} t=\frac{-b\pm \sqrt{\Delta \;}}{2a}=\frac{-v_p\pm\sqrt{v_p^2-20\;}}{2\times 1} \end{gather} \]

Para que a equação tenha raízes reais devemos ter \( \Delta \geqslant 0\Rightarrow v_p^2-20\geqslant 0 \)
\[ \begin{gather} v_p^2-20\geqslant 0\\[5pt] v_p^2\geqslant20\\[5pt] v_p\geqslant \sqrt{20\;} \end{gather} \]
A velocidade mínima do passageiro para embarcar no trem será
\[ \begin{gather} \bbox[#FFCCCC,10px] {v_p\simeq 4,5\;\mathrm{m/s}} \end{gather} \]
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