Exercício Resolvido de Movimento Unidimensional
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Uma partícula percorre uma trajetória em Movimento Retilíneo Uniformemente Variado (M.R.U.V.). No instante t = 2 s sua velocidade é igual à −4 m/s, no instante t = 3 s sua posição é igual à 4,5 m e nos instantes t = 5 s e t = 7 s sua velocidades são iguais e de sinais opostos. Determine a função S=f(t) do movimento.


Dados do problema:
  • Velocidade no instante t = 2 s:    v(2) = −4 m/s;
  • Posição no instante t = 3 s:    S(3) = 4,5 m;
  • Velocidade no instante t = 5 s:    v(5) = v;
  • Velocidade no instante t = 7 s:    v(7) = −v.
Solução

O problema nos dá as seguintes condições:

  • v(2) = −4 m/s    (I)
  • S(3) = 4,5 m    (II)
  • v(5) = v    (III)
  • v(7) = −v    (IV)

A função horária do Movimento Retilíneo Uniformemente Variado (M.R.U.V.) é dada por
\[ \begin{gather} \bbox[#99CCFF,10px] {S(t)=S_{0}+v_{0}t+\frac{a}{2}t^{2}} \tag{V} \end{gather} \]
A função horária da velocidade é dada por
\[ \begin{gather} \bbox[#99CCFF,10px] {v(t)=v_{0}+a} \tag{VI} \end{gather} \]
Substituindo as condições (I), (III) e (IV) na equação (VI)
\[ \begin{gather} v(2)=-4=v_{0}+2a \tag{VII} \end{gather} \]
\[ \begin{gather} v(5)=v=v_{0}+5a \tag{VIII} \end{gather} \]
\[ \begin{gather} v(7)=-v=v_{0}+7a \tag{IX} \end{gather} \]
nas equações (VIII) e (IX) v e −v são velocidades de mesmo módulo e sinais opostos nos instantes 5 e 7 segundos. As equações (VII), (VIII) e (IX) formam um sistema de três equações a três incógnitas (v0, a e v).
\[ \begin{gather} \left\{ \begin{matrix} v_{0}+2a=-4\\ v_{0}+5a=v\\ v_{0}+7a=-v \end{matrix} \right. \end{gather} \]
isolando o valor de v0 na primeira equação do sistema
\[ \begin{gather} v_{0}=-4-2a \tag{X} \end{gather} \]
somando a segunda e terceira equações do sistema
\[ \begin{align} v_{0}+5a &=v\\ (\text{+}) \qquad v_{0}+7a &=-v\\ \hline 2v_{0}+12a &=0 \tag{XI} \end{align} \]
substituindo equação (X) na equação (XI)
\[ \begin{gather} 2(-4-2a)+12a=0\\[5pt] -8-4a+12a=0\\[5pt] 8a=8\\[5pt] a=\frac{8}{8}\\[5pt] a=1\;\text{m/s}^{2} \tag{XII} \end{gather} \]
substituindo o resultado (XII) para a aceleração na equação (X)
\[ \begin{gather} v_{0}=-4-2.1\\[5pt] v_{0}=-4-2\\[5pt] v_{0}=-6\;\text{m/s} \tag{XIII} \end{gather} \]
Substituindo a condição (II) na equação (V)
\[ \begin{gather} S(3)=4,5=S_{0}+3.(-6)+\frac{1}{2}.3^{2}\\[5pt] S_{0}-18+\frac{1}{2}.9=4,5\\[5pt] S_{0}-18+4,5=4,5\\[5pt] S_{0}=18-4,5+4,5\\[5pt] S_{0}=18\;\text{m} \tag{XIV} \end{gather} \]
substituindo os resultados (XII), (XIII) e (XIV) na equação (V)
\[ \begin{gather} \bbox[#FFCCCC,10px] {S(t)=18-6t+\frac{1}{2}t^{2}} \end{gather} \]

Observação: Não calculamos o módulo da velocidade v que aparece nas condições (III) e (IV) porque ele não faz parte da função S(t). Por curiosidade podemos calcular o valor de v substituindo os resultados (XII) e (XIII) na segunda equação do sistema
\[ \begin{gather} v=-6+5.1\\[5pt] v=-6+5\\[5pt] v=-1\;\text{m/s} \end{gather} \]
As velocidades nos instantes 5 e 7 segundos serão
\[ \begin{align} & v(5)=v=-1\text{m/s}\\[10pt] & v(7)=-v=-(-1)=1\;\text{m/s} \end{align} \]
os sinais das velocidades nas condições (III) e (IV) foram atribuídos aleatoriamente, os verdadeios sinais são opostos aos escolhidos.
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