Uma partícula percorre uma trajetória em Movimento Retilíneo Uniformemente Variado
(M.R.U.V.). No instante t = 2 s sua velocidade é igual à −4 m/s, no instante
t = 3 s sua posição é igual à 4,5 m e nos instantes t = 5 s e t = 7 s sua velocidades
são iguais e de sinais opostos. Determine a função S=f(t) do movimento.
Dados do problema:
- Velocidade no instante t = 2 s: v(2) = −4 m/s;
- Posição no instante t = 3 s: S(3) = 4,5 m;
- Velocidade no instante t = 5 s: v(5) = v;
- Velocidade no instante t = 7 s: v(7) = −v.
Solução:
O problema nos dá as seguintes condições:
- v(2) = −4 m/s (I)
- S(3) = 4,5 m (II)
- v(5) = v (III)
- v(7) = −v (IV)
A função horária do Movimento Retilíneo Uniformemente Variado (M.R.U.V.) é dada por
\[
\begin{gather}
\bbox[#99CCFF,10px]
{S(t)=S_0+v_0t+\frac{a}{2}t^2} \tag{V}
\end{gather}
\]
A função horária da velocidade é dada por
\[
\begin{gather}
\bbox[#99CCFF,10px]
{v(t)=v_0+a} \tag{VI}
\end{gather}
\]
Substituindo as condições (I), (III) e (IV) na equação (VI)
\[
\begin{gather}
v(2)=-4=v_0+2a \tag{VII}
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
v(5)=v=v_0+5a \tag{VIII}
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
v(7)=-v=v_0+7a \tag{IX}
\end{gather}
\]
nas equações (VIII) e (IX) v e −v são velocidades de mesmo módulo e sinais opostos nos
instantes 5 e 7 segundos. As equações (VII), (VIII) e (IX) formam um sistema de três equações a três
incógnitas (v0, a e v)
\[
\begin{gather}
\left\{
\begin{matrix}
v_0+2a=-4 \\
v_0+5a=v \\
v_0+7a=-v
\end{matrix}
\right.
\end{gather}
\]
isolando o valor de v0 na primeira equação do sistema
\[
\begin{gather}
v_0=-4-2a \tag{X}
\end{gather}
\]
somando a segunda e terceira equações do sistema
\[
\begin{align}
v_0+5a &=v \\
(\mathrm +) \quad v_0+7a &=-v \\
\hline
2v_0+12a &=0 \tag{XI}
\end{align}
\]
substituindo equação (X) na equação (XI)
\[
\begin{gather}
2(-4-2a)+12a=0 \\[5pt]
-8-4a+12a=0 \\[5pt]
8a=8 \\[5pt]
a=\frac{8}{8} \\[5pt]
a=1\;\mathrm{m/s^2} \tag{XII}
\end{gather}
\]
substituindo o resultado (XII) para a aceleração na equação (X)
\[
\begin{gather}
v_0=-4-2\times 1 \\[5pt]
v_0=-4-2 \\[5pt]
v_0=-6\;\mathrm{m/s} \tag{XIII}
\end{gather}
\]
Substituindo a condição (II) na equação (V)
\[
\begin{gather}
S(3)=4,5=S_0+3\times(-6)+\frac{1}{2}\times 3^2 \\[5pt]
S_0-18+\frac{1}{2}\times 9=4,5 \\[5pt]
S_0-18+4,5=4,5 \\[5pt]
S_0=18-4,5+4,5 \\[5pt]
S_0=18\;\mathrm m \tag{XIV}
\end{gather}
\]
substituindo os resultados (XII), (XIII) e (XIV) na equação (V)
\[
\begin{gather}
\bbox[#FFCCCC,10px]
{S(t)=18-6t+\frac{1}{2}t^2}
\end{gather}
\]
Observação: Não calculamos o módulo da velocidade
v que aparece nas condições (III)
e (IV) porque ele não faz parte da função
S(
t). Por curiosidade podemos calcular o valor de
v substituindo os resultados (XII) e (XIII) na segunda equação do sistema
\[
\begin{gather}
v=-6+5\times 1 \\[5pt]
v=-6+5 \\[5pt]
v=-1\;\mathrm{m/s}
\end{gather}
\]
As velocidades nos instantes 5 e 7 segundos serão
\[
\begin{align}
& v(5)=v=-1\mathrm{m/s}\\[10pt]
& v(7)=-v=-(-1)=1\;\mathrm{m/s}
\end{align}
\]
os sinais das velocidades nas condições (III) e (IV) foram atribuídos aleatoriamente, os verdadeios
sinais são opostos aos escolhidos.
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