Exercício Resolvido de Movimento Unidimensional
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Dois ônibus partem de pontos distantes, A e B, seus movimentos são descritos pelas seguintes equações
\[ \begin{gather} S_{A}=3t^{2}\\ S_{B}=300-2t^{2} \end{gather} \]
medidas em unidades do Sistema Internacional (S.I.).
a) Determinar a que distância se encontram os ônibus um do outro quando o módulo de suas velocidades são iguais;
b) A velocidade de cada um dos ônibus quando eles se encontram a distância calculada no item anterior.


Esquema do problema:

Pelas equações dadas no problema vemos que os ônibus estão em Movimento Retilíneo Uniformemente Variado (M.R.U.V.) que tem a função horária do espaço dada por
\[ \bbox[#99CCFF,10px] {S+S_{0}+v_{0}t+\frac{a}{2}t^{2}} \]
Das equações vemos que o ônibus A parte da origem, S0A = 0, com velocidade inicial v0A = 0 e aceleração aA = 6 m/s2, o ônibus B parte do repouso, v0B = 0, de uma posição inicial S0B = 300 m e aceleração aB = −4 m/s2 (Figura 1).

Figura 1

Solução

a) A função horária da velocidade é dada por
\[ \bbox[#99CCFF,10px] {v=v_{0}+a t} \]
Para o ônibus A
\[ \begin{gather} v_{A}=v_{0 A}+a_{A}t\\ v_{A}=6t \tag{I} \end{gather} \]
Para o ônibus B
\[ \begin{gather} v_{B}=v_{0 B}+a_{B}t\\ v_{B}=0-4t\\ v_{B}=-4t \tag{II} \end{gather} \]
Impondo a condição de que o módulo das velocidades devem ser iguais encontraremos o instante de tempo no qual o módulo das velocidades dos dois ônibus se igualam, temos das expressões (I) e (II)
\[ \begin{gather} |\;v_{A}\;|=|\;v_{B}\;|\\ |\;6t\;|=|\;-4t\;|\\ 6t=4t\\6t-4t=0\\ 2t=0\\t=\frac{0}{2}\\ t=0 \tag{III} \end{gather} \]
substituindo este valor nas expressões do espaço dadas no enunciado encontraremos o espaço na trajetória em que cada um dos ônibus se encontra

Para o ônibus A
\[ \begin{gather} S_{A}=3.0^{2}\\ S_{A}=3.0\\ S_{A}=0 \end{gather} \]
Para o ônibus B
\[ \begin{gather} S_{B}=300-2.0^{2}\\ S_{B}=300-2.0\\ S_{B}=300-0\\ S_{B}=300\;\text{m} \end{gather} \]
A distância entre os dois ônibus será
\[ \begin{gather} d=|\;S_{B}-S_{A}|\\ d=|\;300-0\;|\\ d=|\;300\;| \end{gather} \]
\[ \bbox[#FFCCCC,10px] {d=300\;\text{m}} \]

b) Substituindo o instante de tempo encontrado na expressão (III) nas expressões (I) e (II)
\[ v_{A}=6.0 \]
\[ \bbox[#FFCCCC,10px] {v_{A}=0} \]
\[ v_{B}=-4.0 \]
\[ \bbox[#FFCCCC,10px] {v_{B}=0} \]
Observação: Como os dois ônibus saem do repouso e têm acelerações diferentes, o único instante em que suas velocidades são iguais acontece quando ambos estão parados e a sua distância é igual a distância entre as posições iniciais deles.
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