Exercício Resolvido de Movimento Unidimensional

Dois ônibus partem de pontos distantes, A e B, seus movimentos são descritos pelas seguintes equações

\[ \begin{gather} S_a=3t^2\\ S_b=300-2t^2 \end{gather} \]

medidas em unidades do Sistema Internacional de Unidades (S.I.).
a) Determinar a que distância se encontram os ônibus um do outro quando o módulo de suas velocidades são iguais;
b) A velocidade de cada um dos ônibus quando eles se encontram a distância calculada no item anterior.

Esquema do problema:

Pelas equações dadas no problema vemos que os ônibus estão em Movimento Retilíneo Uniformemente Variado (M.R.U.V.) que tem a função horária do espaço dada por

\[ \begin{gather} \bbox[#99CCFF,10px] {S+S_0+v_0t+\frac{a}{2}t^2} \end{gather} \]

Das equações vemos que o ônibus A parte da origem, S_0a = 0, com velocidade inicial v_0a = 0 e aceleração a_a = 6 m/s², o ônibus B parte do repouso, v_0b = 0, de uma posição inicial S_0b = 300 m e aceleração a_b = −4 m/s² (Figura 1).

Figura 1

Solução:

a) A função horária da velocidade é dada por

\[ \begin{gather} \bbox[#99CCFF,10px] {v=v_0+a t} \end{gather} \]

Para o ônibus A:

\[ \begin{gather} v_a=v_{0 a}+a_at \\[5pt] v_a=6t \tag{I} \end{gather} \]

Para o ônibus B:

\[ \begin{gather} v_b=v_{0 b}+a_bt \\[5pt] v_b=0-4t \\[5pt] v_b=-4t \tag{II} \end{gather} \]

Impondo a condição de que o módulo das velocidades devem ser iguais encontraremos o instante de tempo no qual o módulo das velocidades dos dois ônibus se igualam, temos das expressões (I) e (II)

\[ \begin{gather} |\;v_a\;|=|\;v_b\;| \\[5pt] |\;6t\;|=|\;-4t\;| \\[5pt] 6t=4t \\[5pt]6t-4t=0 \\[5pt] 2t=0 \\[5pt]t=\frac{0}{2} \\[5pt] t=0 \tag{III} \end{gather} \]

substituindo este valor nas expressões do espaço dadas no enunciado encontraremos o espaço na trajetória em que cada um dos ônibus se encontra

Para o ônibus A:

\[ \begin{gather} S_a=3\times 0^2 \\[5pt] S_a=3\times 0 \\[5pt] S_a=0 \end{gather} \]

Para o ônibus B:

\[ \begin{gather} S_b=300-2\times 0^2 \\[5pt] S_b=300-2\times 0 \\[5pt] S_b=300-0 \\[5pt] S_b=300\;\mathrm m \end{gather} \]

A distância entre os dois ônibus será

\[ \begin{gather} d=|\;S_b-S_a| \\[5pt] d=|\;300-0\;| \\[5pt] d=|\;300\;| \end{gather} \]

\[ \begin{gather} \bbox[#FFCCCC,10px] {d=300\;\mathrm m} \end{gather} \]

b) Substituindo o instante de tempo encontrado na expressão (III) nas expressões (I) e (II)

\[ \begin{gather} v_a=6\times 0 \end{gather} \]

\[ \begin{gather} \bbox[#FFCCCC,10px] {v_a=0} \end{gather} \]

\[ \begin{gather} v_b=-4\times 0 \end{gather} \]

\[ \begin{gather} \bbox[#FFCCCC,10px] {v_b=0} \end{gather} \]

Observação: Como os dois ônibus saem do repouso e têm acelerações diferentes, o único instante em que suas velocidades são iguais acontece quando ambos estão parados e a sua distância é igual a distância entre as posições iniciais deles.