Exercício Resolvido de Movimento Unidimensional

Dois carros partem de pontos distantes A e B, seus movimentos são descritos pelas seguintes equações

\[ \begin{gather} S_a=2t^2\\ S_b=300-2t^2 \end{gather} \]

medidas em unidades do Sistema Internacional (S.I.).
Determinar a que distância se encontram os carros um do outro quando o módulo de suas velocidades são iguais.

Esquema do problema:

Pelas equações dadas no problema vemos que os carros estão em Movimento Retilíneo Uniformemente Variado (M.R.U.V.) que tem a função horária do espaço dada por

\[ \begin{gather} \bbox[#99CCFF,10px] {S+S_0+v_0t+\frac{a}{2}t^2} \end{gather} \]

Das equações vemos que o carro A parte da origem, S_0a = 0, com velocidade inicial v_0a = 0 e aceleração a_a = 4 m/s², o carro B parte do repouso, v_0b = 0, de uma posição inicial S_0b = 300 m e aceleração a_b = −4 m/s² (Figura 1).

Figura 1

Solução:

A função horária da velocidade é dada por

\[ \begin{gather} \bbox[#99CCFF,10px] {v=v_0+a t} \end{gather} \]

Para o carro A:

\[ \begin{gather} v_a=v_{0A}+a_at \\[5pt] v_a=0+4t \\[5pt] v_a=4t \tag{I} \end{gather} \]

Para o carro B:

\[ \begin{gather} v_b=v_{0B}+a_bt \\[5pt] v_b=0-4t \\[5pt] v_b=-4t \tag{II} \end{gather} \]

Impondo a condição de que o módulo das velocidades devem ser iguais encontraremos o instante de tempo no qual o módulo das velocidades dos dois carros se igualam, igualando as expressões (I) e (II)

\[ \begin{gather} |\;v_a\;|=|\;v_b\;| \\[5pt] |\;4t\;|=|-4t\;| \\[5pt] 4t=4t \\[5pt]t=t \end{gather} \]

Este resultado indica que para qualquer t os módulos das velocidades dos carros serão iguais, podemos a todo instante de tempo calcular a distância fazendo \( \Delta S=|\;\Delta S_a-\Delta S_b\;|\).