Exercício Resolvido de Movimento Unidimensional
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De dois pontos distantes, A e B, parte um carro de cada ponto, seus movimentos são descritos pelas seguintes equações
\[ \begin{gather} S_{A}=10t+\frac{3}{2}t^{2}\\ S_{B}=300-2t^{2} \end{gather} \]
medidas em unidades do Sistema Internacional (S.I.).
a) Determinar a que distância se encontram os carros um do outro, quando o módulo de suas velocidades são iguais;
b) A velocidade de cada um dos carros, quando eles se encontram a distância calculada no item anterior.


Esquema do problema:

Pelas equações dadas no problema vemos que os carros estão em Movimento Retilíneo Uniformemente Variado (M.R.U.V.) que tem a função horária do espaço dada por
\[ \bbox[#99CCFF,10px] {S+S_{0}+v_{0}t+\frac{a}{2}t^{2}} \]
Das equações vemos que o carro A parte da origem, S0A = 0, com velocidade inicial v0A = 10 m/s e aceleração aA = 3 m/s2. O carro B parte do repouso, v0B = 0, de uma posição inicial S0B = 300 m e aceleração aB = −4 m/s2 (Figura 1).

Figura 1

Solução

a) A função horária da velocidade é dada por
\[ \bbox[#99CCFF,10px] {v=v_{0}+a t} \]
Para o carro A
\[ \begin{gather} v_{A}=v_{0 A}+a_{A}t\\ v_{A}=10+3t \tag{I} \end{gather} \]
Para o carro B
\[ \begin{gather} v_{B}=v_{0 B}+a_{B}t\\ v_{B}=0-4t\\ v_{B}=-4t \tag{II} \end{gather} \]
Impondo a condição de que o módulo das velocidades devem ser iguais, encontraremos o instante de tempo no qual o módulo das velocidades dos dois carros se igualam, igualando as expressões (I) e (II)
\[ \begin{gather} |\;v_{A}\;|=|\;v_{B}\;|\\ |\;10+3t\;|=|\;-4t\;|\\ 10+3t=4t\\ 4t-3t=10\\ t=10\;\text{s} \tag{III} \end{gather} \]
substituindo este valor nas expressões das posições dadas no enunciado, encontraremos a posição na trajetória em que cada um dos carros se encontra

Para o carro A
\[ \begin{gather} S_{A}=10.10+\frac{3}{2}10^{2}\\ S_{A}=100+1,5.100\\ S_{A}=100+150\\ S_{A}=250\;\text{m} \end{gather} \]
Para o carro B
\[ \begin{gather} S_{B}=300-2.10^{2}\\ S_{B}=300-2.100\\ S_{B}=300-200\\ S_{B}=100\;\text{m} \end{gather} \]
A distância entre os dois carros será
\[ \begin{gather} d=|\;S_{B}-S_{A}|\\ d=|\;100-250\;|\\ d=|\;-150\;| \end{gather} \]
\[ \bbox[#FFCCCC,10px] {d=150\;\text{m}} \]

b) Substituindo o instante de tempo encontrado na expressão (III) nas expressões (I) e (II)
\[ \begin{gather} v_{A}=10+3.10\\ v_{A}=10+30 \end{gather} \]
\[ \bbox[#FFCCCC,10px] {v_{A}=40\;\text{m/s}} \]
\[ v_{B}=-4.10 \]
\[ \bbox[#FFCCCC,10px] {v_{B}=-40\;\text{m/s}} \]

Observação: Veja que no instante calculado as velocidades não são iguais, elas são iguais em módulo, mas lembrando que velocidade é uma grandeza vetorial ela é descrita por módulo, direção e sentido. Os módulos das velocidades são iguais, \( |\;v_{A}\;|=|\;v_{B}\;|=40\;\text{m/s} \), possuem mesma direção horizontal, mesma direção do eixo de referência da trajetória, mas possuem sentidos diferentes, a velocidade do carro A é positiva indicando que se movimenta no mesmo sentido da orientação do referencial, a velocidade do carro B é negativa indicando que se movimenta no sentido contrário da orientação do referencial. Como dois vetores são iguais apenas se tiverem mesmo módulo, direção e sentido, estas velocidades são diferentes.
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