De dois pontos distantes, A e B, parte um carro de cada ponto, seus movimentos são descritos
pelas seguintes equações
\[
\begin{gather}
S_a=10t+\frac{3}{2}t^2 \\
S_b=300-2t^2
\end{gather}
\]
medidas em unidades do Sistema Internacional de Unidades (S.I.).
a) Determinar a que distância se encontram os carros um do outro, quando o módulo de suas velocidades são
iguais;
b) A velocidade de cada um dos carros, quando eles se encontram a distância calculada no item anterior.
Esquema do problema:
Pelas equações dadas no problema vemos que os carros estão em
Movimento Retilíneo Uniformemente Variado (M.R.U.V.) que tem a função horária do espaço
dada por
\[
\begin{gather}
\bbox[#99CCFF,10px]
{S+S_0+v_0t+\frac{a}{2}t^2}
\end{gather}
\]
Das equações vemos que o carro A parte da origem,
S0a = 0, com velocidade inicial
v0a = 10 m/s e aceleração
aA = 3 m/s2. O carro B parte do repouso,
v0b = 0, de uma posição inicial
S0b = 300 m e aceleração
ab = −4 m/s2 (Figura 1).
Solução:
a) A função horária da velocidade é dada por
\[
\begin{gather}
\bbox[#99CCFF,10px]
{v=v_0+a t}
\end{gather}
\]
Para o carro A:
\[
\begin{gather}
v_a=v_{0 a}+a_at \\[5pt]
v_a=10+3t \tag{I}
\end{gather}
\]
Para o carro B:
\[
\begin{gather}
v_b=v_{0 b}+a_bt \\[5pt]
v_b=0-4t \\[5pt]
v_b=-4t \tag{II}
\end{gather}
\]
Impondo a condição de que o módulo das velocidades devem ser iguais, encontraremos o instante de tempo no
qual o módulo das velocidades dos dois carros se igualam, igualando as expressões (I) e (II)
\[
\begin{gather}
|\;v_a\;|=|\;v_b\;| \\[5pt]
|\;10+3t\;|=|\;-4t\;| \\[5pt]
10+3t=4t \\[5pt]
4t-3t=10 \\[5pt]
t=10\;\mathrm s \tag{III}
\end{gather}
\]
substituindo este valor nas expressões das posições dadas no enunciado, encontraremos a posição na
trajetória em que cada um dos carros se encontra
Para o carro A:
\[
\begin{gather}
S_a=10\times 10+\frac{3}{2}10^2 \\[5pt]
S_a=100+1,5\times 100 \\[5pt]
S_a=100+150 \\[5pt]
S_a=250\;\mathrm m
\end{gather}
\]
Para o carro B:
\[
\begin{gather}
S_b=300-2\times 10^2 \\[5pt]
S_b=300-2\times 100 \\[5pt]
S_b=300-200 \\[5pt]
S_b=100\;\mathrm m
\end{gather}
\]
A distância entre os dois carros será
\[
\begin{gather}
d=|\;S_b-S_a| \\[5pt]
d=|\;100-250\;| \\[5pt]
d=|\;-150\;|
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
\bbox[#FFCCCC,10px]
{d=150\;\mathrm m}
\end{gather}
\]
b) Substituindo o instante de tempo encontrado na expressão (III) nas expressões (I) e (II)
\[
\begin{gather}
v_a=10+3\times 10 \\[5pt]
v_a=10+30
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
\bbox[#FFCCCC,10px]
{v_a=40\;\mathrm{m/s}}
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
v_b=-4\times 10
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
\bbox[#FFCCCC,10px]
{v_b=-40\;\mathrm{m/s}}
\end{gather}
\]
Observação: Veja que no instante calculado as velocidades não são iguais, elas são
iguais em módulo, mas lembrando que velocidade é uma grandeza vetorial ela é descrita por módulo,
direção e sentido. Os módulos das velocidades são iguais,
\( |\;v_a\;|=|\;v_b\;|=40\;\mathrm{m/s} \),
possuem mesma direção horizontal, mesma direção do eixo de referência da trajetória, mas possuem sentidos
diferentes, a velocidade do carro A é positiva indicando que se movimenta no mesmo sentido da
orientação do referencial, a velocidade do carro B é negativa indicando que se movimenta no sentido
contrário da orientação do referencial. Como dois vetores são iguais apenas se tiverem mesmo módulo,
direção e sentido, estas velocidades são diferentes.
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