Um carro em trajetória retilínea faz metade do percurso com velocidade média v1 e a outra
metade com velocidade média v2. Determine a velocidade média vm do
percurso todo.
Dados do problema:
- Velocidade média do carro na primeira metade do percurso: v1;
- Velocidade média do carro na segunda metade do percurso: v2.
Esquema do problema:
Vamos chamar cada metade do percurso de ΔS e os tempos gastos em cada metade do percurso de
Δt1 e Δt2 (Figura 1).
Solução:
Como cada metade do percurso é ΔS, o percurso total será
\[
\begin{gather}
\Delta S_t=\Delta S+\Delta S=2\Delta S
\end{gather}
\]
Temos que achar o tempo que o carro leva para percorrer cada metade do percurso a partir da equação para
a velocidade média
\[
\begin{gather}
\bbox[#99CCFF,10px]
{v_m=\frac{\Delta S}{\Delta t}=\frac{S_f-S_i}{t_f-t_i}} \tag{I}
\end{gather}
\]
escrevendo esta equação para cada uma das partes da viagem
\[
\begin{gather}
\Delta t_1=\frac{\Delta S}{v_1} \tag{II-a}
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
\Delta t_2=\frac{\Delta S}{v_2} \tag{II-b}
\end{gather}
\]
O tempo total Δt da viagem será a soma das equações (II-a) e (II-b), assim podemos escrever
a equação (I) para a velocidade média de todo o percurso
\[
\begin{gather}
v_m=\frac{\Delta S_t}{\Delta t} \\[5pt]
v_m=\frac{\Delta S_t}{\Delta t_1+\Delta t_2} \\[5pt]
v_m=\frac{2\Delta S}{\dfrac{\Delta S}{v_1}+\dfrac{\Delta S}{v_2}}
\end{gather}
\]
o fator comum entre as frações do denominador será \( v_1v_2 \)
\[
\begin{gather}
v_m=\frac{2\Delta S}{\dfrac{\Delta S v_2+\Delta S v_1}{v_1v_2}}
\end{gather}
\]
colocando o fator ΔS em evidência no numerador e no denominador e invertendo o denominador
\[
\begin{gather}
v_m=\frac{\cancel{\Delta S}}{\cancel{\Delta S}}\frac{2}{\dfrac{v_2+v_1}{v_1v_2}}
\end{gather}
\]
invertendo o denominador a velocidade média total será
\[
\begin{gather}
\bbox[#FFCCCC,10px]
{v_m=\frac{2v_1v_2}{(v_1+v_2)}}
\end{gather}
\]
Observação: Este tipo de média é chamada
Média Harmônica, neste caso de 2 números.
Ao contrário do que muitos esperariam a média não é uma
Média Aritmética
\[
\begin{gather}
v_m=\frac{v_1+v_2}{2}
\end{gather}
\]
Se o carro percorresse a trajetória, com metade do tempo total da viagem (e não a metade do espaço) na
primeira parte, com uma velocidade média
v1, e na segunda parte da viagem com a outra
metade do tempo total, com uma velocidade média
v2, então seria valida a
Média Aritmética.
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