Exercício Resolvido de Movimento Unidimensional
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Um carro em trajetória retilínea faz metade do percurso com velocidade média v1 e a outra metade com velocidade média v2. Determine a velocidade média vm do percurso todo.


Dados do problema:
  • Velocidade média do carro na primeira metade do percurso:    v1;
  • Velocidade média do carro na segunda metade do percurso:    v2.
Esquema do problema:

Vamos chamar cada metade do percurso de ΔS e os tempos gastos em cada metade do percurso de Δt1 e Δt2 (Figura 1).

Figura 1

Solução

Como cada metade do percurso é ΔS, o percurso total será
\[ \Delta S_{t}=\Delta S+\Delta S=2\Delta S \]
Temos que achar o tempo que o carro leva para percorrer cada metade do percurso a partir da expressão para a velocidade média
\[ \begin{gather} \bbox[#99CCFF,10px] {v_{m}=\frac{\Delta S}{\Delta t}=\frac{S_{f}-S_{i}}{t_{f}-t_{i}}} \tag{I} \end{gather} \]
escrevendo esta equação para cada uma das partes da viagem
\[ \begin{gather} \Delta t_{1}=\frac{\Delta S}{v_{1}} \tag{II-a} \end{gather} \]
\[ \begin{gather} \Delta t_{2}=\frac{\Delta S}{v_{2}} \tag{II-b} \end{gather} \]
O tempo total Δt da viagem será a soma das expressões (II-a) e (II-b), assim podemos escrever a expressção (I) para a velocidade média de todo o percurso
\[ \begin{gather} v_{m}=\frac{\Delta S_{t}}{\Delta t}\\[8pt] v_{m}=\frac{\Delta S_{t}}{\Delta t_{1}+\Delta t_{2}}\\[8pt] v_{m}=\frac{2\Delta S}{\dfrac{\Delta S}{v_{1}}+\dfrac{\Delta S}{v_{2}}} \end{gather} \]
o fator comum entre as frações do denominador será \( v_{1}v_{2} \)
\[ v_{m}=\frac{2\Delta S}{\dfrac{\Delta S v_{2}+\Delta S v_{1}}{v_{1}v_{2}}} \]
colocando o fator ΔS em evidência no numerador e no denominador e invertendo o denominador
\[ \begin{gather} v_{m}=\frac{\cancel{\Delta S}}{\cancel{\Delta S}}\frac{2}{\dfrac{v_{2}+v_{1}}{v_{1}v_{2}}}\\[5pt] v_{m}=\frac{2v_{1}v_{2}}{(v_{1}+v_{2})} \end{gather} \]
a velocidade média total será
\[ \bbox[#FFCCCC,10px] {v_{m}=\frac{2v_{1}.v_{2}}{v_{1}+v_{2}}} \]

Observação: Este tipo de média é chamada Média Harmônica, neste caso de 2 números. Ao contrário do que muitos esperariam a média não é uma Média Aritmética
\[ V_{m}=\frac{v_{1}+v_{2}}{2} \]
Se o carro percorresse a trajetória, com metade do tempo total da viagem (e não a metade do espaço) na primeira parte, com uma velocidade média v1, e na segunda parte da viagem com a outra metade do tempo total, com uma velocidade média v2, então seria valida a Média Aritmética.
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