Exercício Resolvido de Movimento Unidimensional
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Dois trens de 120 e 280 metros de comprimento movem-se em linhas paralelas retilíneas e com velocidades constantes. Quando os dois trens se movem no mesmo sentido são necessários 20 segundos para que o primeiro trem ultrapasse o segundo, quando se movem em sentidos opostos são necessários 10 segundos para que um passe pelo outro. Determinar as velocidades dos trens.


Dados do problema:
  • Comprimento do trem 1:    d1 = 120 m;
  • Comprimento do trem 2:    d2 = 280 m;
  • Intervalo de tempo para ultrapassagem no mesmo sentido:    tA = 20 s;
  • Intervalo de tempo para ultrapassagem em sentidos opostos:    tB = 10 s.
Esquema do problema:

Os dois trens possuem dimensões relevantes para o problema eles são considerados objetos extensos.
Se eles se movem no mesmo sentido a ultrapassagem começa quando, a parte dianteira do trem de trás alcança a parte traseira do trem da frente, e termina quando, a parte traseira do primeiro trem passa pela parte da frente do segundo trem.

Figura 1

Adotamos um sistema de referência orientado para a direita. O problema pode ser reduzido a um ponto material, que representa a parte traseira do primeiro trem na origem do referencial S01 = 0 com velocidade v1, e outro ponto material que representa a parte dianteira do segundo trem, em um ponto dado pela soma dos comprimentos dos dois trens 120+280=400 m, à frente S02 = 400 m com velocidade v2. A ultrapassagem ocorre quando estes dois pontos se encontram (Figura 1).
Se eles se movem em sentidos opostos a ultrapassagem começa quando, a parte dianteira do trem de trás encontra a parte dianteira do trem da frente, e termina quando, a parte traseira do primeiro trem passa pela parte traseira do segundo trem.

Figura 2

Adotamos um sistema de referência orientado para a direita. O problema pode ser reduzido a um ponto material, que representa a parte traseira do primeiro trem na origem do referencial S01 = 0 com velocidade v1, e outro ponto material que representa a parte traseira do segundo trem num ponto dado pela soma dos comprimentos dos dois trens 120+280=400 m, à frente S02 = 400 m com velocidade −v2. A ultrapassagem ocorre quando estes dois pontos se cruzam (Figura 2).

Solução

Os dois pontos estão em Movimento Retilíneo Uniforme (M.R.U.) dado por
\[ \begin{gather} \bbox[#99CCFF,10px] {S=S_{0}+vt} \tag{I} \end{gather} \]
escrevendo a expressão (I) para os dois pontos se movendo no mesmo sentido (Figura 1), para o primeiro trem
\[ \begin{gather} S_{1}=S_{01}+v_{1}t_{A}\\ S_{1}=0+v_{1}.20\\ S_{1}=20v_{1} \tag{II} \end{gather} \]
para o segundo trem
\[ \begin{gather} S_{2}=S_{02}+v_{2}t_{A}\\ S_{2}=400+20v_{2} \tag{III} \end{gather} \]
Impondo a condição de que quando os dois móveis se encontram eles ocupam a mesma posição na trajetória igualamos as expressões (II) e (III)
\[ \begin{gather} S_{1}=S_{2}\\ 20v_{1}=400+20v_{2}\\ 20v_{1}-20v_{2}=400 \tag{IV} \end{gather} \]
Escrevendo a expressão dos dois pontos para o movimento em sentidos opostos (Figura 2), para o primeiro trem
\[ \begin{gather} S_{1}=S_{01}+v_{1}t_{B}\\ S_{1}=0+v_{1}.10\\ S_{1}=10v_{1} \tag{V} \end{gather} \]
para o segundo trem
\[ \begin{gather} S_{2}=S_{02}-v_{2}t_{B}\\ S_{2}=400-10v_{2} \tag{VI} \end{gather} \]
Impondo a condição de que quando os dois móveis se cruzam eles ocupam a mesma posição na trajetória igualamos as expressões (IV) e (V)
\[ \begin{gather} S_{1}=S_{2}\\ 10v_{1}=400-10v_{2}\\ 10v_{1}+10v_{2}=400 \tag{VII} \end{gather} \]
As expressões (IV) e (VII) formam um sistema de duas equações a duas incógnitas, v1 e v2
\[ \left\{ \begin{array}{l} 20v_{1}-20v_{2}=400\\ 10v_{1}+10v_{2}=400 \end{array} \right. \tag{VIII} \]
multiplicando a segunda equação do sistema (VIII) por 2 e somando com a primeria equação
\[ \begin{gather} \qquad\qquad \left\{ \begin{array}{l} 20v_{1}-20v_{2}=400\\ 10v_{1}+10v_{2}=400 \qquad (\times 2) \end{array} \right.\\[10pt] \frac{ \begin{align} 20v_{1}-20v_{2}&=400\quad\;\\ (+)\;20v_{1}+20v_{2}&=800\quad\; \end{align} } {40v_{1}+0v_{2}=1200}\\ 40v_{1}=1200\\ v_{1}=\frac{1200}{40} \end{gather} \]
\[ \bbox[#FFCCCC,10px] {v_{1}=30\;\text{m/s}} \]
Substituindo este valor de v1 em qualquer uma das equações do sistema (VIII), obtemos o valor de v2, substituindo na segunda equação
\[ \begin{gather} 10.30+10v_{2}=400\\ 300+10v_{2}=400\\ 10v_{2}=400-300\\ 10v_{2}=100\\ v_{2}=\frac{1000}{10} \end{gather} \]
\[ \bbox[#FFCCCC,10px] {v_{2}=10\;\text{m/s}} \]
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