Exercício Resolvido de Movimento Circular
publicidade   



Uma polia A, de raio 0,15 m, inicia seu movimento a partir do repouso com aceleração angular constante de 2 rad/s2. Esta polia é conectada a uma roda B, de raio 0,40 m, por uma correia que gira sem escorregamento. Determine os módulos da velocidade e da aceleração de um ponto P na periferia da roda B após duas rotações.



Dados do problema:
  • Raio da polia A:    rA = 0,15 m;
  • Aceleração da polia A:    αA = 2 rad/s2;
  • Raio da polia B:    rB = 0,40 m;
  • Deslocamento angular do ponto B:    φB = 2 rotações
  • Velocidade inicial da polia A:    v0A = 0;
  • Velocidade angular inicial da polia A:    ω0A = 0;
  • Velocidade inicial da roda B:    v0B = 0;
  • Velocidade angular inicial da roda B:    ω0B = 0.
Solução

Em primeiro lugar devemos converter o deslocamento do ponto B dado em rotações para radianos (rad)
\[ \varphi_{B}=2\;\cancel{\text{rotações}}.\frac{2\pi\;\text{rad}}{1\;\cancel{\text{rotação}}}=4\pi \;\text{rad} \]
O problema nos diz que na correia de ligação entre as polias não há escorregamento, assim as polias giram solidárias (giram juntas) e o módulo do deslocamento é o mesmo para todos os pontos da correia e também para os pontos periféricos da polia e da roda. O deslocamento de um ponto em movimento circular é dado por
\[ \begin{gather} \bbox[#99CCFF,10px] {S=\varphi r} \tag{I} \end{gather} \]
Onde SA é o deslocamento de um ponto da polia A (de 1 para 2, Figura 1), será igual a SB, o deslocamento de um ponto da roda B, usando a expressão (I) podemos escrever a condição de igualdade
\[ \begin{gather}S_{A}=S_{B}\\ \varphi_{A}r_{A}=\varphi_{B}r_{B}\\ \varphi_{A}=\frac{\varphi_{B}r_{B}}{r_{A}} \end{gather} \]
Figura 1

substituindo os dados do problema e adotando π = 3,14 encontramos o deslocamento angular de um ponto da polia A
\[ \begin{gather} \varphi_{A}=\frac{4.3,14.0,40}{0,15}\\ \varphi_{A}=33,5\;\text{rad} \end{gather} \]
Como a polia e a roda iniciam seus movimentos com aceleração angular constante elas estão em Movimento Circular Uniformemente Variado (M.C.U.V.), usando a Equação de Torricelli para movimento circular
\[ \bbox[#99CCFF,10px] {\omega ^{2}=\omega_{0}^{2}+2\alpha \Delta \varphi} \]
\[ \begin{gather} \omega_{A}^{2}=\omega_{0A}^{2}+2\alpha_{A}\Delta\varphi_{A}\\ \omega_{A}^{2}=\omega_{0A}^{2}+2\alpha_{A}(\varphi_{A}-\varphi_{0A})\\ \omega_{A}^{2}=0+2.2(33,5-0)\\ \omega_{A}=\sqrt{134\;}\\ \omega_{A}=11,6\;\text{rad/s} \end{gather} \]
Como a polia e a roda giram solidárias elas têm o mesmo deslocamento com a mesma velocidade, em módulo dada por
\[ \begin{gather} \bbox[#99CCFF,10px] {v=\omega r} \tag{II} \end{gather} \]
Aplicando a condição de igualdade para a velocidade, obtemos a velocidade de um ponto P da roda
\[ \begin{gather} v_{A}=v_{B}\\ v_{B}=v_{A}=\omega_{A}r_{A}\\ v_{B}=\omega_{A}r_{A}\\ v_{B}=11,6.0,15 \end{gather} \]
\[ \bbox[#FFCCCC,10px] {v_{B}=1,74\;\text{m/s}} \]
O módulo da aceleração tangencial é dado por
\[ \begin{gather} \bbox[#99CCFF,10px] {a_{t}=\alpha r} \tag{III} \end{gather} \]
Aplicando a condição de igualdade para a aceleração, obtemos a aceleração de um ponto P da roda (Figura 2)
\[ \begin{gather} a_{tA}=a_{tB}\\ a_{tB}=a_{tA}=\alpha_{A}r_{A}\\ a_{tB}=\alpha_{A}r_{A}\\ a_{tB}=2.0,15\\ a_{tB}=0,30\;\text{m/s}^{2} \end{gather} \]

Figura 2

A aceleração normal (centrípeta) para a roda B é dada por
\[ \bbox[#99CCFF,10px] {a_{cp}=\frac{v^{2}}{r}} \]
\[ \begin{gather} a_{nB}=\frac{v_{B}^{2}}{r_{B}}\\ a_{nB}=\frac{1,74^{2}}{0,40}\\ a_{nB}=7,6\;\text{m/s}^{2} \end{gather} \]
A aceleração total será a soma vetorial das componentes tangencial e normal acima
\[ {\vec{a}}_{B}={\vec{a}}_{tB}+{\vec{a}}_{nB} \]
usando o Teorema de Pitágoras o módulo da aceleração total será
\[ \begin{gather} a_{B}^{2}=a_{tB}^{2}+a_{nB}^{2}\\ a_{B}^{2}=0,30^{2}+7,6^{2}\\ a_{B}^{2}=0,09+57,8\\ a_{B}=\sqrt{57,9\;} \end{gather} \]
\[ \bbox[#FFCCCC,10px] {a_{B}\approx 7,6\;\text{m/s}^{2}} \]
publicidade   

Licença Creative Commons
Fisicaexe - Exercícios Resolvidos de Física de Elcio Brandani Mondadori está licenciado com uma Licença Creative Commons - Atribuição-NãoComercial-Compartilha Igual 4.0 Internacional .