Exercício Resolvido de Movimento Circular
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De um ponto de uma circunferência, de raio 2 m, partem simultaneamente dois móveis que percorrem esta circunferência no mesmo sentido com velocidades que estão entre si na razão de 2/5. Sabendo-se que os móveis se encontram a cada 10 s determinar suas acelerações centrípetas.
Dados do problema:
- Raio da circunferência (trajetória): R = 2 m;
- Razão das velocidades dos móveis: \( \dfrac{v_{1}}{v_{2}}=\dfrac{2}{5} \);
- Intervalo de tempo entre os encontros: Δt = 10 s.
Adota-se como origem do espaço o ponto de onde partem os móveis, assim suas posições iniciais serão
φ01 = φ02 = 0, e com orientação positiva no sentido contra-relógio. As
acelerações centrípetas dos móveis apontam para o centro da circunferência, elas são responsáveis por
fazer os móveis percorrem a curva, mas não alteram a velocidade escalar que é tangente à circunferência.
Figura 1
Solução
Da razão entre as velocidades dada no problema podemos escrever
\[
\begin{gather}
v_{1}=\frac{2}{5}v_{2} \tag{I}
\end{gather}
\]
A aceleração centrípeta é dada por
\[ \bbox[#99CCFF,10px]
{a_{cp}=\frac{v^{2}}{r}}
\]
escrevendo esta expressão para os dois móveis
\[
\begin{gather}
a_{cp1}=\frac{v_{1}^{2}}{R} \tag{II-a}
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
a_{cp2}=\frac{v_{2}^{2}}{R} \tag{II-b}
\end{gather}
\]
Como os móveis estão em Movimento Circular Uniforme (M.C.U.) a expressão que rege este
movimento é
\[ \bbox[#99CCFF,10px]
{\varphi =\varphi_{0}+\omega t}
\]
escrevemos as equações deste movimento para os móveis
\[
\begin{gather}
\varphi_{1}=\varphi_{01}+\omega_{1}t\\
\varphi_{1}=0+\omega_{1}t\\
\varphi_{1}=\omega_{1}t \tag{III-a}
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
\varphi_{2}=\varphi_{02}+\omega_{2}t\\
\varphi_{2}=0+\omega_{2}t\\
\varphi_{2}=\omega_{2}t \tag{III-b}
\end{gather}
\]
A velocidade escalar e a velocidade angular estão relacionadas por
\[ \bbox[#99CCFF,10px]
{V=\omega r}
\]
\[
\omega =\frac{v}{r}
\]
escrevendo esta expressão para os dois móveis
\[
\begin{gather}
\omega_{1}=\frac{v_{1}}{R} \tag{IV-a}
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
\omega_{2}=\frac{v_{2}}{R} \tag{IV-b}
\end{gather}
\]
substituindo as expressões (IV-a) e (IV-b) nas expressões (III-a) e (III-b), respectivamente
\[
\begin{gather}
\varphi_{1}=\frac{v_{1}}{R}t \tag{V-a}
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
\varphi_{2}=\frac{v_{2}}{R}t \tag{V-b}
\end{gather}
\]
Para o primeiro encontro dos móveis devemos ter a condição
\[
\varphi_{2}-\varphi_{1}=2\pi
\]
substituindo as expressões de (V) nesta condição
\[
\frac{v_{2}}{R}t-\frac{v_{1}}{R}t=2\pi
\]
substituindo o intervalo de tempo para o primeiro encontro e o raio da circunferência, dado no problema, e
a expressão (I)
\[
\begin{gather}
\frac{v_{2}}{2}.10-\frac{1}{2}.\left(\frac{2}{5}v_{2}\right).10=2\pi\\
5v_{2}-2v_{2}=2\pi \\
3v_{2}=2\pi \\
v_{2}=\frac{2}{3}\pi\;\text{m/s} \tag{VI}
\end{gather}
\]
Substituindo o valor de (VI) na expressão (II-b) para a aceleração centrípeta do móvel 2, temos um dos
resultados
\[
\begin{gather}
a_{cp2}=\frac{1}{2}.\left(\frac{2}{3}\pi\right)^{2}\\
a_{cp2}=\frac{1}{2}.\frac{4}{9}\pi^{2}
\end{gather}
\]
\[ \bbox[#FFCCCC,10px]
{a_{cp2}=\frac{2}{9}\pi^{2}\;\text{m/s}^{2}}
\]
Substituindo a expressão (I) na expressão (II) para a aceleração centrípeta do móvel 1 e o valor do raio da
trajetória
\[
\begin{gather}
a_{cp1}=\frac{1}{2}.\left(\frac{2}{5}v_{2}\right)^{2}\\
a_{cp1}=\frac{1}{2}.\frac{4}{25}v_{2}^{2}\\
a_{cp1}=\frac{2}{25}v_{2}^{2}
\end{gather}
\]
substituindo a velocidade do móvel 2 encontrada acima, temos o outro resultado
\[
\begin{gather}
a_{cp1}=\frac{2}{25}.\left(\frac{2}{3}\pi\right)^{2}\\
a_{cp1}=\frac{2}{25}.\frac{4}{9}\pi^{2}
\end{gather}
\]
\[ \bbox[#FFCCCC,10px]
{a_{cp1}=\frac{8}{225}\pi^{2}\;\text{m/s}^{2}}
\]
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