Exercício Resolvido de Movimento Circular
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Um cilindro, com 1 m de comprimento, possui uma canaleta disposta obliquamente em relação ao eixo do
cilindro, o ângulo entre o ponto de entrada da canaleta e a saída é de 30º. Partículas com diferentes
velocidades constantes são lançadas por um lado do cilindro, sabendo que o cilindro gira em torno do seu
eixo principal com frequência de 1200 rpm, qual deve ser a velocidade de uma partícula para que consiga
atravessar toda a extensão do cilindro sem tocar nas paredes da canaleta?
Dados do problema:
- Comprimento do cilindro: ΔS = 1 m;
- Diferença angular entre os pontos de entrada e saída da canaleta: Δφ = 30°;
- Frequência de rotação do cilindro: f = 1200 rpm.
Enquanto a partícula atravessa a canaleta do cilindro em Movimento Retilíneo Uniforme (M.R.U.) o cilindro gira em Movimento Circular Uniforme (M.C.U.).
Para o movimento retilíneo adota-se um sistema de referência com origem no ponto de entrada da partícula orientado no sentido do movimento da partícula. Para o movimento circular adota-se um sistema de referência com origem onde o orifício de saída estava no começo do movimento orientado no sentido de rotação do cilindro (Figura 1).
Solução
Em primeiro lugar devemos converter a frequência, dada em rotações por minuto (rpm) para hertz (Hz), usada no Sistema Internacional (S.I.)
\[
f=1200\;\frac{\text{rotações}}{\text{minuto}}=1200\frac{\text{rotaçõoes}}{1\;\cancel{\text{minuto}}}.\frac{1\;\cancel{\text{minuto}}}{60\;\text{segundos}}=20\;\frac{\text{rotaçõoes}}{\text{segundo}}=20\;\text{Hz}
\]
A frequência angular (ω) do cilindro é dada por
\[ \bbox[#99CCFF,10px]
{\omega =2\pi f}
\]
\[
\begin{gather}
\omega =2\pi .20\\
\omega =40\pi\;\text{rad/s}
\end{gather}
\]
A equação do movimento retilíneo da partícula é dada por
\[ \bbox[#99CCFF,10px]
{S=S_{0}+vt}
\]
\[
\begin{gather}
1=0+vt\\
t=\frac{1}{v} \tag{I}
\end{gather}
\]
O ângulo de deslocamento do cilindro, medido em radianos, será
\( \varphi =30°=\dfrac{\pi }{6}\;\text{rad} \).
.A equação do movimento circular do cilindro é dada por
\[ \bbox[#99CCFF,10px]
{\varphi =\varphi_{0}+\omega t}
\]
\[
\begin{gather}
\frac{\pi}{6}=0+40\pi t\\
\frac{1}{6}=40t\\
t=\frac{1}{240}\;\text{s} \tag{II}
\end{gather}
\]
O tempo que a partícula leva para atravessar o cilindro é o mesmo tempo que o cilindro leva para girar de
30°, igualando as expressões (I) e (II)
\[
\frac{1}{v}=\frac{1}{240}
\]
\[ \bbox[#FFCCCC,10px]
{v=240\;\text{m/s}}
\]
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