Exercício Resolvido de Movimento Circular
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Uma serra elétrica gira a 1440 rpm no momento em que é desligada, sua velocidade angular diminui
uniformemente, sendo que 10 s após sua frequência é de 240 rpm. Determinar:
a) O tempo que a serra gira até parar;
b) O número total de voltas, em rotações, que a serra dá do momento que é desligada até parar totalmente.
a) O tempo que a serra gira até parar;
b) O número total de voltas, em rotações, que a serra dá do momento que é desligada até parar totalmente.
Dados do problema:
- Frequência inicial da serra quando desligada: f0 = 1440 rpm;
- Frequência 10 s após a serra ser desligada: f10 = 240 rpm.
Em primeiro lugar devemos converter os valores das frequências dadas em rotações por minuto (rpm) para Hertz (Hz) usado no Sistema Internacional (S.I.)
\[
\begin{gather}
f_{0}=1440\;\cancel{\text{rpm}}.\frac{1\;\text{Hz}}{60\;\cancel{\text{rpm}}}=24\;\text{Hz}\\
f_{10}=240\;\cancel{\text{rpm}}.\frac{1\;\text{Hz}}{60\;\cancel{\text{rpm}}}=4\;\text{Hz}
\end{gather}
\]
a) A velocidade angular em função da frequência é dada por
\[ \bbox[#99CCFF,10px]
{\omega =2\pi f}
\]
aplicando esta expressão para as duas frequências
\[
\begin{gather}
\omega_{0}=2\pi f_{0}\\
\omega_{0}=2\pi .24\\
\omega_{0}=48\pi \;\text{rad/s}
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
\omega_{10}=2\pi f_{10}\\
\omega_{10}=2\pi .4\\
\omega_{10}=8\pi \;\text{rad/s}
\end{gather}
\]
A velocidade do Movimento Circular Uniformemente Variado (M.C.U.V.) é dada por
\[
\begin{gather}
\bbox[#99CCFF,10px]
{\omega =\omega_{0}+\alpha t} \tag{I}
\end{gather}
\]
aplicando os valores de ω, encontrados acima, para os instantes, t = 0 e para t = 10 s,
obtemos o valor da aceleração
\[
\begin{gather}
\omega_{10}=\omega_{0}+\alpha t\\
8\pi =48\pi +\alpha10\\
10\alpha =8\pi -48\pi \\
10\alpha =-40\pi \\
\alpha =\frac{-40\pi}{10}\\
\alpha =-4\pi \;\text{rad/s}^{2}
\end{gather}
\]
o sinal de negativo indica que a serra está desacelerando, usando este valor podemos calcular o tempo que a
serra leva para parar, até que a velocidade final seja zero (ω = 0), usando novamente a expressão (I)
\[
\begin{gather}
0=48 \pi-4 \pi t\\
4 \pi t=48 \pi\\
t=\frac{48 \cancel{\pi}}{4 \cancel{\pi}}
\end{gather}
\]
\[ \bbox[#FFCCCC,10px]
{t=12\;\text{s}}
\]
b) O espaço percorrido no Movimento Circular Uniformemente Variado (M.C.U.V.) e dado por
\[ \bbox[#99CCFF,10px]
{\theta =\theta_{0}+\omega_{0}t+\frac{\alpha }{2}t^{2}}
\]
adotamos que no instante em que a serra é desligada o ângulo inicial é nulo, θ0 = 0,
usando os valores de ω0 e α acima e o tempo que a serra leva para parar,
t = 12 s
\[
\begin{gather}
\theta =0+48\pi .12-\frac{4\pi }{2}12^{2}\\
\theta=576\pi -2\pi .144\\
\theta =576\pi -288\pi \\
\theta =288\pi\;\text{rad}
\end{gather}
\]
Para converter o número n de voltas de radianos para rotações usamos uma regra de três simples
\[
\begin{gather}
\frac{1\;\text{rotação}}{2\pi
}=\frac{n\;\text{rotações}}{288\pi}\\
n=\frac{288\cancel{\pi}}{2\cancel{\pi}}
\end{gather}
\]
\[ \bbox[#FFCCCC,10px]
{n=144\;\text{rotações}}
\]
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