Exercício Resolvido de Movimento Circular
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Dois móveis percorrem uma circunferência de raio R no mesmo sentido e com movimentos uniformes. Sabendo-se que partem simultaneamente de um mesmo ponto com velocidades escalares v1 e v2, determine depois de quanto tempo se encontram pela primeira vez.
Dados do problema:
- Raio da circunferência (trajetória): R;
- Velocidade do móvel 1: v1;
- Velocidade do móvel 2: v2.
Figura 1
Solução
Os móveis estão em Movimento Circular Uniforme (M.C.U.), suas velocidades escalares v são constantes, como a trajetória circular tem raio constante, então suas velocidades angulares ω também são constantes.
A equação deste movimento é dada por
\[ \bbox[#99CCFF,10px]
{\varphi =\varphi _{0}+\omega t}
\]
Escrevendo esta equação para os dois móveis
\[
\varphi_{1}=\varphi_{01}+\omega_{1}t
\]
\[
\varphi_{1}=\varphi_{01}+\omega_{1}t
\]
Adotando-se o ponto de partida dos móveis como sendo a origem dos espaços, temos que os espaços angulares
iniciais são iguais a zero (φ01 = φ02 = 0), assim a equações acima se reduzem a
\[
\begin{gather}
\varphi_{1}=\omega_{1}t \tag{I-a}
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
\varphi_{2}=\omega_{2}t \tag{I-b}
\end{gather}
\]
A velocidade escalar é dada por
\[ \bbox[#99CCFF,10px]
{v=\omega r}
\]
As velocidades angulares (ω1 e ω2) podem ser escritas em função das
velocidades escalares, v1 e v2, e do raio (R) da circunferência
\[
\begin{gather}
v_{1}=\omega_{1}R\\
\omega_{1}=\frac{v_{1}}{R} \tag{II-a}
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
v_{2}=\omega _{2}R\\
\omega_{2}=\frac{v_{2}}{R} \tag{II-b}
\end{gather}
\]
substituindo a expressão (II-a) na expressão (I-a), e a expressão (II-b) na expressão (I-b)
\[
\begin{gather}
\varphi_{1}=\frac{v_{1}}{R}t \tag{III-a}
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
\varphi_{2}=\frac{v_{2}}{R}t \tag{III-b}
\end{gather}
\]
Como queremos encontrar o instante do encontro dos móveis devemos impor a condição de que nesse instante os
seus espaços angulares serão iguais
\[
\varphi_{1}=\varphi_{2}
\]
Supondo a velocidade do móvel 2 maior que a do móvel 1 quando eles se encontrarem o móvel 2 já terá
percorrido uma volta, 2π radianos a mais
\[
\begin{gather}
\varphi_{2}=\varphi_{1}+2\pi \tag{IV}
\end{gather}
\]
substituindo as expressõess (III-a) e (III-b) na expressão (IV)
\[
\begin{gather}
\frac{v_{2}}{R}t=\frac{v_{1}}{R}t+2\pi\\
\frac{v_{2}}{R}t-\frac{v_{1}}{R}t=2\pi\\
(v_{2}-v_{1})\frac{t}{R}=2\pi
\end{gather}
\]
\[ \bbox[#FFCCCC,10px]
{t=\frac{2\pi R}{v_{2}-v_{1}}}
\]
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