Exercício Resolvido de Movimento Circular
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Os elementos de um integrador mecânico roda-disco são mostrados na figura. A roda A gira em torno de seu eixo fixo e, move-se por atrito, no ponto de contato com o disco B sem escorregamento. A distância y é variável e pode ser controlada pela posição da roda A no disco. O raio da roda A é a e o raio do disco B é b (0 < y < b). Se a rotação de B é ωB (velocidade angular constante) mostre que a velocidade angular de A é variável em função da distância y segundo a relação:
\[ \omega_{A}=ky \]
onde   \( k=\dfrac{\omega_{B}}{a}=\text{constante} \).


Dados do problema:
  • Raio da roda A:    RA = a;
  • Raio da roda B:    RB = b;
  • Distância da roda A ao centro de B:    Ry = y;
  • Velocidade angular da roda B:    ωB.
Solução

O problema no diz que as duas rodas giram sem escorregamento isto significa que elas possuem a mesma velocidade escalar no ponto de contato (Figura 1).
A velocidade escalar de um ponto da roda é dada por
\[ \bbox[#99CCFF,10px] {v=\omega r} \]
Figura 1

escrevendo esta expressão para as duas rodas
\[ v_{A}=\omega_{A}R_{A} \]
\[ v_{B}=\omega_{B}R_{y} \]
Para a roda B o raio usado foi Ry e não b, o raio da roda, pois y é a distância do centro da roda B até o ponto de contato entre as duas rodas.
Com a condição de que no ponto de contato as duas rodas possuem velocidades escalares iguais
\[ \begin{gather} v_{A}=v_{B}\\ \omega_{A} R_{A}=\omega_{B} R_{y}\\ \omega_{A} a=\omega_{B} y\\ \omega_{A}=\frac{\omega_{B}}{a} y \end{gather} \]
definindo \( k=\dfrac{\omega_{B}}{a} \), este valor é constante pois o problema nos diz que a velocidade angular da roda B é constante e o raio da roda A também é constante
\[ \bbox[#FFCCCC,10px] {\omega_{A}=ky} \]
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