Exercício Resolvido de Movimento Circular
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Duas polias ligadas por uma correia têm raios R1 = 10 cm e R2 = 20 cm.
A primeira efetua 40 rpm. Admitindo-se que a correia de ligação é não elástica e não há escorregamento,
pede-se:
a) Qual a relação entre os módulos das velocidades escalares de um ponto na superfície da primeira polia P1 e um ponto na superfície da segunda polia P2?
b) Qual a relação entre as frequências das polias?
c) Qual é o número de rotações da segunda polia?
d) Qual é a velocidade angular de cada uma das polias?
a) Qual a relação entre os módulos das velocidades escalares de um ponto na superfície da primeira polia P1 e um ponto na superfície da segunda polia P2?
b) Qual a relação entre as frequências das polias?
c) Qual é o número de rotações da segunda polia?
d) Qual é a velocidade angular de cada uma das polias?
Dados do problema:
- Raio da primeira polia: R1 = 10 cm;
- Frequência da primeira polia: f1 = 40 rpm;
- Raio da segunda polia: R2 = 20 cm.
a) O problema nos diz que a correia de ligação entre as polias é não elástica e não há escorregamento, assim as polias giram solidárias (giram juntas) e a velocidade é a mesma para todos os pontos da correia e também para os pontos periféricos das polias. Assim sendo v1 o módulo da velocidade da primeira polia, v2 o módulo da velocidade da segunda polia e sendo v1=v2, a relação entre os módulos das velocidades será
\[
\begin{gather}
\bbox[#FFCCCC,10px]
{\frac{v_{1}}{v_{2}}=1}
\end{gather}
\]
b) A velocidade escalar em função da velocidade angular e do raio é dada por
\[
\begin{gather}
\bbox[#99CCFF,10px]
{v=\omega r}
\end{gather}
\]
as velocidades dos pontos P1 e P2 serão dadas respectivamente por
\[
\begin{gather}
v_{1}=\omega _{1}R_{1}
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
v_{2}=\omega _{2}R_{2}
\end{gather}
\]
como do item (a) vimos que v1 = v2
\[
\begin{gather}
\omega _{1}R_{1}=\omega _{2}R_{2}
\end{gather}
\]
a velocidade angular ω é dada por
\[
\begin{gather}
\bbox[#99CCFF,10px]
{\omega =2\pi f}
\end{gather}
\]
substituindo podemos reescrever
\[
\begin{gather}
\cancel{2\pi} f_{1}R_{1}=\cancel{2\pi} f_{2}R_{2}\\[5pt]
f_{1}R_{1}=f_{2}R_{2}\\[5pt]
\frac{f_{1}}{f_{2}}=\frac{R_{2}}{R_{1}}
\end{gather}
\]
substituindo pelos valores dos raios fornecidos
\[
\begin{gather}
\frac{f_{1}}{f_{2}}=\frac{20}{10}
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
\bbox[#FFCCCC,10px]
{\frac{f_{1}}{f_{2}}=2}
\end{gather}
\]
c) Utilizando o valor de f1 dado e a expressão anterior
\[
\begin{gather}
\frac{40}{f_{2}}=2\\[5pt]
f_{2}=\frac{40}{2}
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
\bbox[#FFCCCC,10px]
{f_{2}=20\;\text{rpm}}
\end{gather}
\]
d) Para o cálculo das velocidades angulares das polias temos que converter as unidades de frequência dadas em rotações por minuto (rpm) para Hertz (Hz) usada no Sistema Internacional (SI)
\[
\begin{gather}
f_{1}=40\;\frac{\text{rotações}}{1\;\cancel{\text{min}}}.\frac{1\;\cancel{\text{min}}}{60\;\text{s}}=\frac{2}{3}\;\text{Hz}\\[5pt]
f_{2}=20\;\frac{\text{rotações}}{1\;\cancel{\text{min}}}.\frac{1\;\cancel{\text{min}}}{60\;\text{s}}=\frac{1}{3}\;\text{Hz}
\end{gather}
\]
usando a fórmula acima para a velocidade angular, para a polia 1 será
\[
\begin{gather}
\omega _{1}=2\pi f_{1}\\[5pt]
\omega _{1}=2\pi .\frac{2}{3}
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
\bbox[#FFCCCC,10px]
{\omega _{1}=\frac{4}{3}\pi \;\text{rad/s}}
\end{gather}
\]
a velocidade angular da polia 2 será
\[
\begin{gather}
\omega _{2}=2\pi f_{2}\\[5pt]
\omega _{2}=2\pi .\frac{1}{3}
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
\bbox[#FFCCCC,10px]
{\omega _{2}=\frac{2}{3}\pi \;\text{rad/s}}
\end{gather}
\]
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