Exercício Resolvido de Quantidade de Movimento
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Dos extremos de uma plataforma de comprimento L, apoiada sobre roletes sem atrito, um adulto e uma criança estão correndo um em direção ao outro. Determinar de quanto deslizará a plataforma, quando o adulto passar de um extremo ao outro da plataforma. Sabe-se que a velocidade do adulto é o dobro da velocidade da criança, as massas da plataforma, do adulto e da criança são m1, m2 e m3, respectivamente.
Dados do problema:
- Comprimento da plataforma: L;
- Massa da plataforma: m1;
- Massa do adulto: m2;
- Velocidade do adulto: v2;
- Massa da criança: m3;
- Velocidade da criança: v3.
Como o sistema homem-criança-plataforma é isolado de forças externas, então é válido o
Princípio da Conservação da Quantidade de Movimento.
Adotando-se um referencial na plataforma (R') o homem anda o comprimento L da plataforma e como a velocidade da criança é a metade da velocidade do homem, ela anda metade do comprimento da plataforma \( \left(\frac{L}{2}\right) \).
Colocando-se o referencial (R) fixo na água com o mesmo sentido da velocidade do homem. Quando este anda para frente, pela conservação da quantidade de movimento, a plataforma se desloca para trás. A plataforma se desloca de uma distância D a determinar, então, em relação ao referencial na água o homem anda a distância de L−D. Como a velocidade do homem é maior ele “arrasta” para trás a plataforma com a criança. Colocando-se o referencial (R) fixo na água com o mesmo sentido da velocidade da criança, quando esta anda para frente ela se desloca junto com a plataforma. A plataforma se desloca de uma distância D e a criança se desloca \( \frac{L}{2} \), então, em relação ao referencial na água a criança se desloca \( \frac{L}{2}+D \).
Adotando-se um referencial na plataforma (R') o homem anda o comprimento L da plataforma e como a velocidade da criança é a metade da velocidade do homem, ela anda metade do comprimento da plataforma \( \left(\frac{L}{2}\right) \).
Colocando-se o referencial (R) fixo na água com o mesmo sentido da velocidade do homem. Quando este anda para frente, pela conservação da quantidade de movimento, a plataforma se desloca para trás. A plataforma se desloca de uma distância D a determinar, então, em relação ao referencial na água o homem anda a distância de L−D. Como a velocidade do homem é maior ele “arrasta” para trás a plataforma com a criança. Colocando-se o referencial (R) fixo na água com o mesmo sentido da velocidade da criança, quando esta anda para frente ela se desloca junto com a plataforma. A plataforma se desloca de uma distância D e a criança se desloca \( \frac{L}{2} \), então, em relação ao referencial na água a criança se desloca \( \frac{L}{2}+D \).
Solução
A quantidade de movimento é dada por
\[
\begin{gather}
\bbox[#99CCFF,10px]
{Q=m v}
\end{gather}
\]
A quantidade de movimento do homem
\( Q_{h} \)
deve ser igual à soma das quantidades de movimento da plataforma e da criança
\( \left(Q_{p}+Q_{c}\right) \)
\[
\begin{gather}
Q_{h}=Q_{p}+Q_{c}\\[5pt]
m_{2}v_{2}=m_{1}v_{1}+m_{3}v_{3}
\end{gather}
\]
as velocidades da plataforma, do homem e da criança serão, respectivamente,
\( v_{1}=\frac{\Delta S_{p}}{\Delta t} \),
\( v_{2}=\frac{\Delta S_{h}}{\Delta t} \)
e
\( v_{3}=\frac{\Delta S_{c}}{\Delta t} \)
\[
\begin{gather}
m_{2}\frac{\Delta S_{h}}{\cancel{\Delta t}}=m_{1}\frac{\Delta S_{p}}{\cancel{\Delta t}}+m_{3}\frac{\Delta S_{c}}{\cancel{\Delta t}}\\[5pt]
m_{2}\Delta S_{h}=m_{1}\Delta S_{p}+m_{3}\Delta S_{c}
\end{gather}
\]
com relação ao referencial na água o deslocamento do
homem será
\( \Delta S_{h}=L-D \)
(Figura 1), o deslocamento da plataforma será
\( \Delta S_{p}=D \)
e o deslocamento da criança será
\( \Delta S_{c}=\dfrac{L}{2}+D \),
substituindo estes valores na expressão
\[
\begin{gather}
m_{2}(L-D)=m_{1}D+m_{3}\left(\frac{L}{2}+D\right)\\[5pt]
m_{2}L-m_{2}D=m_{1}D+m_{3}\frac{L}{2}+m_{3}D\\[5pt]
m_{2}L-m_{3}\frac{L}{2}=m_{1}D+m_{3}D+m_{2}D
\end{gather}
\]
do lado esquerdo da igualdade multiplicamos e dividimos o primeiro termo por 2 e do lado direito da igualdade
colocamos D em evidência
\[
\begin{gather}
m_{2}L.\frac{2}{2}-m_{3}\frac{L}{2}=D(m_{1}+m_{3}+m_{2})\\[5pt]
D(m_{1}+m_{3}+m_{2})=2m_{2}\frac{L}{2}-m_{3}\frac{L}{2}
\end{gather}
\]
colocando
\( \dfrac{L}{2} \)
em evidência do lado direito da igualdade
\[
\begin{gather}
D(m_{1}+m_{3}+m_{2})=\frac{L}{2}(2m_{2}-m_{3})
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
\bbox[#FFCCCC,10px]
{D=\frac{2m_{2}-m_{3}}{m_{1}+m_{3}+m_{2}}\frac{L}{2}}
\end{gather}
\]
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