Exercício Resolvido de Quantidade de Movimento
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Dois barcos navegam paralelamente ao encontro um do outro com velocidades iguais. Quando os barcos se cruzam, lança-se uma carga de um barco para o outro, e em seguida uma outra carga igual é lançada do segundo barco para o primeiro. Em outro caso as cargas são lançadas simultaneamente. Em qual caso a velocidade dos barcos, depois do lançamento das cargas, será maior?
Dados do problema:
- Massa dos barcos: M;
- Massa das cargas: m;
- Velocidade inicial dos barcos: v0.
- Caso em que uma das cargas é lançada após a outra
Adotamos um sistema de referência com o eixo orientado para a direita no sentido de deslocamento do barco
(a), Figura 1.
Na situação inicial para o barco (a) sua massa é a soma das massas do barco e da carga (M+m) e navega com velocidade v0. A carga do barco (b) possui massa m e se desloca com a velocidade do barco (−v0), assim quando esta massa é lançada para o barco (a) ela transfere para este uma quantidade de movimento −mv0 (Figura 1-A).
Na situação final o barco (a) possui massa (M+2m) e velocidade v1 (Figura 1-B).
Na situação inicial para o barco (b) sua massa é M, sua carga já foi lançada para o barco (a), e navega com velocidade −v0, a carga do barco (a) possui massa m e se desloca com a mesma velocidade do barco (v1), assim quando esta massa é lançada para o barco (b) ela transfere para este uma quantidade de movimento mv1 (Figura 1-C).
Na situação final o barco (b) possui massa (M+m) e velocidade −v2 (Figura 1-D).
Na situação inicial para o barco (a) sua massa é a soma das massas do barco e da carga (M+m) e navega com velocidade v0. A carga do barco (b) possui massa m e se desloca com a velocidade do barco (−v0), assim quando esta massa é lançada para o barco (a) ela transfere para este uma quantidade de movimento −mv0 (Figura 1-A).
Na situação final o barco (a) possui massa (M+2m) e velocidade v1 (Figura 1-B).
Na situação inicial para o barco (b) sua massa é M, sua carga já foi lançada para o barco (a), e navega com velocidade −v0, a carga do barco (a) possui massa m e se desloca com a mesma velocidade do barco (v1), assim quando esta massa é lançada para o barco (b) ela transfere para este uma quantidade de movimento mv1 (Figura 1-C).
Na situação final o barco (b) possui massa (M+m) e velocidade −v2 (Figura 1-D).
A quantidade de movimento é dada por
\[
\begin{gather}
\bbox[#99CCFF,10px]
{Q=mv}
\end{gather}
\]
Usando o Princípio da Conservação da Quantidade de Movimento escrevemos para cada um dos barcos
- Barco (a)
\[
\begin{gather}
{_{a}Q_{i}}={_{a}Q_{f}}\\[5pt]
(M+m)v_{0}-mv_{0}=(M+2m)v_{1} \tag{I}
\end{gather}
\]
- Barco (b)
\[
\begin{gather}
{_{b}Q_{i}}={_{b}Q_{f}}\\[5pt]
-Mv_{0}+mv_{1}=(M+m)v_{2} \tag{II}
\end{gather}
\]
As expressões (I) e (II) formam um sistema de duas equações a duas incógnitas (v1 e
v2)
\[
\left\{
\begin{array}{l}
\;(M+m)v_{0}-mv_{0}=(M+2m)v_{1}\\[5pt]
\;-Mv_{0}+mv_{1}=(M+m)v_{2}
\end{array}
\right.
\]
da primeira equação
\[
\begin{gather}
Mv_{0}+mv_{0}-mv_{0}=(M+2m)v_{1}\\[5pt]
Mv_{0}=(M+2m)v_{1}\\[5pt]
v_{1}=\frac{M}{M+2m}v_{0} \tag{III}
\end{gather}
\]
substituindo a expressão (III) na segunda equação do sistema
\[
\begin{gather}
-Mv_{0}+m\frac{M}{M+2m}v_{0}=(M+m)v_{2}
\end{gather}
\]
multiplicando ambos os lados da igualdade por (M+2m)
\[
\begin{gather}
-(M+2m)Mv_{0}+\cancel{(M+2m)}m\frac{M}{\cancel{M+2m}}v_{0}=(M+2m)(M+m)v_{2}\\[5pt]
-M^{2}v_{0}-2Mmv_{0}+Mmv_{0}=(M+2m)(M+m)v_{2}\\[5pt]
-M^{2}v_{0}-Mmv_{0}=(M+2m)(M+m)v_{2}\\[5pt]
-Mv_{0}\cancel{(M+m)}=(M+2m)\cancel{(M+m)}v_{2}\\[5pt]
-Mv_{0}=(M+2m)v_{2}\\[5pt]
v_{2}=-\frac{{M}}{M+2m}v_{0} \tag{IV}
\end{gather}
\]
Com as expressões (III) e (IV) podemos escrever
\[
\begin{gather}
v_{1}=-v_{2}=\frac{M}{M+2m}v_{0} \tag{V}
\end{gather}
\]
- Caso em que as cargas são lançadas simultaneamente
Adotamos o mesmo sistema de referência da situação anterior (Figura 2).
Na situação inicial para o barco (a), sua carga já foi lançada e ela transfere uma quantidade de movimento mv0 para o barco (b), sua massa fica sendo M, e navega com velocidade v0. Simultaneamente o barco (b) lança sua carga e ela transfere uma quantidade de movimento −mv0 para o barco (a), sua massa fica sendo M, e navega com velocidade −v0 (Figura 2-A).
Na situação final o barco (a) possui massa (M+m) e velocidade v3. Na situação final o barco (b) possui massa (M+m) e velocidade −v4 (Figura 2-B).
Na situação inicial para o barco (a), sua carga já foi lançada e ela transfere uma quantidade de movimento mv0 para o barco (b), sua massa fica sendo M, e navega com velocidade v0. Simultaneamente o barco (b) lança sua carga e ela transfere uma quantidade de movimento −mv0 para o barco (a), sua massa fica sendo M, e navega com velocidade −v0 (Figura 2-A).
Na situação final o barco (a) possui massa (M+m) e velocidade v3. Na situação final o barco (b) possui massa (M+m) e velocidade −v4 (Figura 2-B).
Usando o Princípio da Conservação da Quantidade de Movimento escrevemos para cada um dos barcos
- Barco (a)
\[
\begin{gather}
{_{a}Q_{i}}={_{a}Q_{f}}\\[5pt]
Mv_{0}-mv_{0}=(M+m)v_{3} \tag{VI}
\end{gather}
\]
- Barco (b)
\[
\begin{gather}
{_{b}Q_{i}}={_{b}Q_{f}}\\[5pt]
-Mv_{0}+mv_{0}=(M+m)v_{4} \tag{VII}
\end{gather}
\]
da expressão (VI)
\[
\begin{gather}
(M-m)v_{0}=(M+m)v_{3}\\[5pt]
v_{3}=\frac{M-m}{M+m}v_{0} \tag{VIII}
\end{gather}
\]
da expressão (VII)
\[
\begin{gather}
-(M-m)v_{0}=(M+m)v_{4}\\[5pt]
v_{4}=\frac{-{M-m}}{M+m}v_{0} \tag{IX}
\end{gather}
\]
Com as expressões (VIII) e (IX) podemos escrever
\[
\begin{gather}
v_{3}=-v_{4}=\frac{M-m}{M+m}v_{0} \tag{X}
\end{gather}
\]
Para encontrar a maior velocidade devemos comparar as expressões (V) e (X).Para colocar as expressões no mesmo denominador multiplicamos o numerador e o denominador da expressão (V) por (M+m), e, o numerador e o denominador, da expressão (X) por (M+2m).
\( v_{1}=\dfrac{(M+m)}{(M+m)}.\dfrac{M}{(M+2m)}v_{0}=\dfrac{M^{2}+Mm}{(M+m)(M+2m)}v_{0} \)
\( v_{1}=\dfrac{(M+m)}{(M+m)}.\dfrac{M}{(M+2m)}v_{0}=\dfrac{M^{2}+Mm}{(M+m)(M+2m)}v_{0} \)
\( v_{3}=\dfrac{(M+2m)}{(M+2m)}.\dfrac{(M-m)}{(M+m)}v_{0}=\dfrac{M^{2}-Mm+2Mm-2m^{2}}{(M+m)(M+2m)}v_{0}=\dfrac{M^{2}+Mm-2m^{2}}{(M+m)(M+2m)}v_{0} \)
\( v_{3}=\dfrac{(M+2m)}{(M+2m)}.\dfrac{(M-m)}{(M+m)}v_{0}=\dfrac{M^{2}-Mm+2Mm-2m^{2}}{(M+m)(M+2m)}v_{0}=\dfrac{M^{2}+Mm-2m^{2}}{(M+m)(M+2m)}v_{0} \)
As duas expressões acima estão sobre o mesmo denominador, na primeira expressão o numerador é \( M^{2}+Mn \) e na segunda expressão o numerador é este valor subtraído do valor \( 2m^{2} \), portanto, a segunda fração representa um valor menor
\[
\begin{gather}
v_{1}=\frac{M^{2}+Mm}{(M+m)(M+2m)}v_{0}>\frac{M^{2}+Mm-2m^{2}}{(M+m)(M+2m)}v_{0}=v_{3}\\[5pt]
v_{1}>v_{3}
\end{gather}
\]
A velocidade no primeiro caso é maior.
Observação: Quando o tripulante do barco age sobre a carga lançando esta com uma força
\( \vec{F} \),
perpendicular à trajetória do barco, ele reage sobre o barco com uma força
\( -\vec{F} \),
isto causaria um deslocamento lateral do barco. Para evitar este movimento assumimos que a massa da
carga é pequena de modo que a força
\( \vec{F} \)
é tal que possa ser equilibrada pela força de resistência da água
\( {\vec{F}}_{R} \)
agindo na lateral do barco (Figura 3).
Figura 3
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Fisicaexe - Exercícios Resolvidos de Física de Elcio Brandani Mondadori está licenciado com uma Licença Creative Commons - Atribuição-NãoComercial-Compartilha Igual 4.0 Internacional .