Exercício Resolvido de Leis de Kepler e Gravitação
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No filme 2001: Uma Odisseia no Espaço (2001: A Space Odissey de 1968 dirigido por Stanley Kubrick) a nave Discovery One possui uma seção formada por uma centrífuga que gira de modo a produzir gravidade artificial semelhante a gravidade da Lua.

Supondo que um astronauta tenha uma altura média de 1,70 m, e que a centrífuga tem um diâmetro de 11,6 m e gira com frequência de 5 rpm, verifique a viabilidade da construção de tal aparelho.

Dados do problema:

  • Diâmetro da centrífuga: D = 11,6 m;
  • Frequência de rotação da centrífuga: f = 5 rpm;
  • Altura do astronauta: h = 1,70 m.

Esquema do problema:

Como a centrífuga tem um diâmetro de 11,6 m seu raio vale
\[ \begin{gather} R=\frac{D}{2} \\[5pt] R=\frac{11,6}{2} \\[5pt] R=5,8\;\mathrm{m} \end{gather} \]
esta é a distância dos pés do astronauta ao centro da centrífuga.
A cabeça do astronauta está a uma distância d do centro igual a
\[ \begin{gather} d=R-h \\[5pt] d=5,8-1,7 \\[5pt] d=4,1\;\mathrm{m} \end{gather} \]
Com estes dados podemos calcular a gravidade artificial gerada pela rotação da centrífuga na altura dos pés, \( \vec g_p \), e da cabeça, \( \vec g_c \), do astronauta (Figura 1).
Figura 1

Solução:

Em primeiro lugar devemos converter a frequência dada em rotações por minuto (rpm) para hertz (Hz) usado no Sistema Internacional de Unidades (S.I.)

\[ \begin{gather} f=5\;\mathrm{rpm}=5\;\frac{\text{rotações}}{1\;\mathrm{\cancel{min}}}\times\frac{1\;\mathrm{\cancel{min}}}{60\;\mathrm{s}}=\frac{5}{60}\;\frac{\mathrm{rotações}}{\mathrm{s}}=\frac{1}{12}\;\frac{\text{rotações}}{\mathrm{s}}=\frac{1}{12}\;\mathrm{Hz} \end{gather} \]
Forças que atuam no astronauta (Figura 2):
  • \( {\vec F}_{cp} \): força centrípeta que atua no astronauta devido a rotação da centrífuga;
  • \( {\vec F}_{cg} \): força centrífuga que atua no astronauta, mantém o astronauta no chão da centrífuga gerando uma gravidade artificial.
Observação: A força centrífuga, \( {\vec F}_{cg} \), não é reação da força centrípeta, \( {\vec{F}}_{cp} \), pela 3.ª Lei de Newton forças de ação e reação estão em corpos diferentes, e neste caso as duas forças estão aplicadas ao astronauta.
Figura 2

A gravidade artificial gerada pela rotação é dada pela força centrífuga e é igual a força centrípeta, em módulo, dada por

\[ \begin{gather} F_{cg}=F_{cp}=m\frac{v^2}{r} \end{gather} \]

Aplicando a 2.ª Lei de Newton

\[ \begin{gather} \bbox[#99CCFF,10px] {\vec F=m\vec a} \end{gather} \]

a força resultante que gera a gravidade artificial é a força centrífuga, assim escrevemos em módulo

\[ \begin{gather} m\frac{v^2}{r}=ma \\[5pt] a=\frac{v^2}{r} \tag{I} \end{gather} \]

a velocidade tangencial é dada por

\[ \begin{gather} \bbox[#99CCFF,10px] {v=\omega r} \tag{II} \end{gather} \]

substituindo a equação (II) na equação (I)

\[ \begin{gather} a=\frac{(\omega r)^2}{r} \\[5pt] a=\frac{\omega^2r^2}{r} \\[5pt] a=\omega ^2r \tag{III} \end{gather} \]

A velocidade angular é dada por

\[ \begin{gather} \bbox[#99CCFF,10px] {\omega=2\pi f} \tag{IV} \end{gather} \]

substituindo a equação (IV) na equação (III)

\[ \begin{gather} a=(2\pi f)^2r \\[5pt] a=4\pi^2f^2r \tag{V} \end{gather} \]

Usando a frequência dada, adotando π = 3,14 e usando r = R = 5,8 m, temos a aceleração gerada na altura dos pés do astronauta, a = gc

\[ \begin{gather} g_p=4\times 3,14^2\times\left(\frac{1}{12}\right)^2\times 5,8 \\[5pt] g_p=4\times 9,86\times\frac{1}{144}\times 5,8 \\[5pt] g_{p}=1,59\;\mathrm{m/s^2} \end{gather} \]

Usando r = d = 4,1 m, temos a aceleração gerada na altura da cabeça do astronauta, a = gc

\[ \begin{gather} g_c=4\times 3,14^2\left(\frac{1}{12}\right)^2\times 4,1 \\[5pt] g_c=4\times 9,86\times\frac{1}{144}\times 4,1 \\[5pt] g_c=1,12\;\mathrm{m/s}^2 \end{gather} \]

A diferença de valores entre a aceleração da gravidade na cabeça e nos pés é muito grande, isto tornaria difícil o andar dos astronautas, a circulação sanguínea também poderia ser comprometida, havendo falta de sangue na cabeça, que seria atraído para os pés, causando tonturas e desmaios dos astronautas. Portanto não seria viável construir uma centrífuga com estas dimensões.

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