Exercício Resolvido de Fluidos
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Um sólido flutua em água com 1/8 do seu volume imerso. O mesmo corpo flutua em óleo com 1/6 do seu volume imerso. Determine a relação da densidade do óleo do para a densidade da água da.

Dados do problema:

  • Fração do volume do corpo imerso em água: \( \dfrac{1}{8}V \);
  • Fração do volume do corpo imerso em óleo: \( \dfrac{1}{6}V \).

Esquema do problema:

Quando o corpo é imerso em água   \( \dfrac{1}{8} \)  do seu volume afunda deslocando uma massa de água igual à massa de todo o corpo, a força de empuxo e a força peso se equilibram (Figura 1).

Figura 1

Quando o corpo é imerso em óleo \( \frac{1}{6} \) do seu volume afunda deslocando uma massa de óleo igual à massa de todo o corpo, a força de empuxo e a força peso se equilibram.

Solução:

Como o corpo está em equilíbrio a força peso \( \vec P \) e a força de empuxo \( \vec E \) se anulam

\[ \begin{gather} E=P \tag{I} \end{gather} \]

A força de empuxo é dada por

\[ \begin{gather} \bbox[#99CCFF,10px] {E=m_{\small L}g} \tag{II} \end{gather} \]

onde mL é massa de água deslocada.
A densidade de um corpo é dada por

\[ \begin{gather} \bbox[#99CCFF,10px] {d=\frac{m}{V}} \tag{III} \end{gather} \]
\[ \begin{gather} m=dV \tag{IV} \end{gather} \]

Usando a equação (IV) a massa de líquido deslocado será

\[ \begin{gather} m_{\small L}=d_{\small L}V_{\small L} \tag{V} \end{gather} \]

substituindo a equação (V) na equação (II)

\[ \begin{gather} E=d_{\small L}V_{\small L}g \tag{VI} \end{gather} \]
  • Corpo flutuando na água:

Substituindo a equação (VI) na equação (I), e usando a condição do problema de que o volume de água deslocado Va é   \( \dfrac{1}{8} \)   do volume total do corpo

\[ \begin{gather} E=d_a\left(\frac{1}{8}V\right)g \tag{VII} \end{gather} \]

substituindo a equação (VII) na equação (I)

\[ \begin{gather} \frac{1}{8}d_aVg=P \tag{VIII} \end{gather} \]
  • Corpo flutuando no óleo:

Substituindo a equação (VI) na equação (I), e usando a condição do problema de que o volume de óleo deslocado Vo é   \( \dfrac{1}{6} \)   do volume total do corpo

\[ \begin{gather} E=d_o\left(\frac{1}{6}V\right)g \tag{IX} \end{gather} \]

substituindo a equação (IX) na equação (I)

\[ \begin{gather} \frac{1}{6}d_oVg=P \tag{X} \end{gather} \]

Igualando as equações (VIII) e (X)

\[ \begin{gather} \frac{1}{8}d_a\cancel V\cancel g=\frac{1}{6}d_o\cancel V\cancel g\\[5pt] \frac{1}{8}d_a=\frac{1}{6}d_o\\[5pt] \frac{d_o}{d_a}=\frac{6}{8} \end{gather} \]
\[ \begin{gather} \bbox[#FFCCCC,10px] {\frac{d_o}{d_a}=\frac{3}{4}} \end{gather} \]
Observação: A densidade do óleo será 0,75 da densidade da água ou 75% da densidade da água (menos denso). O corpo afunda mais no óleo por ser menos denso que a água portanto, produz uma menor força de empuxo.
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